双曲线与向量垂直

【答案】 $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ / $\dfrac{3}{5}\sqrt{5}$ 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 $\left|AF_{2}\right|,\left|BF_{2}\right|,\left|BF_{1}\right|,\left|AF_{1}\right|$ 关于 $a,m$ 的表达式，从而利用勾股定理求得 $a=m$ ，进而利用余弦定理得到 $a,c$ 的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 $x_{0}=\dfrac{5}{3}c,y_{0}=-\dfrac{2}{3}t$ ， $t^{2}=4c^{2}$ ，将点 $A$ 代入双曲线 $C$ 得到关于 $a,b,c$ 的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设 $\left|AF_{2}\right|=2m$ ，则 $\left|BF_{2}\right|=3m=\left|BF_{1}\right|,\left|AF_{1}\right|=2a+2m$ ， 在 $Rt\triangle ABF_{1}$ 中， $9m^{2}+(2a+2m)^{2}=25m^{2}$ ，则 $(a+3m)(a-m)=0$ ，故 $a=m$ 或 $a=-3m$ （舍去）， 所以 $\left|AF_{1}\right|=4a,\left|AF_{2}\right|=2a$ ， $\left|BF_{2}\right|=\left|BF_{1}\right|=3a$ ，则 $\left|AB\right|=5a$ ， 故 $\cos\angle F_{1}AF_{2}=\dfrac{\left|AF_{1}\right|}{\left|AB\right|}=\dfrac{4a}{5a}=\dfrac{4}{5}$ ， 所以在 $\triangle AF_{1}F_{2}$ 中， $\cos\angle F_{1}AF_{2}=\dfrac{16a^{2}+4a^{2}-4c^{2}}{2\times4a\times2a}=\dfrac{4}{5}$ ，整理得 $5c^{2}=9a^{2}$ ， 故 $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ . [插图] 方法二: 依题意，得 $F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)$ ，令 $A\left(x_{0},y_{0}\right),B(0,t)$ ， 因为 $\vec{F_{2}A}=-\dfrac{2}{3}\vec{F_{2}B}$ ，所以 $\left(x_{0}-c,y_{0}\right)=-\dfrac{2}{3}\left(-c,t\right)$ ，则 $x_{0}=\dfrac{5}{3}c,y_{0}=-\dfrac{2}{3}t$ ， 又 $\vec{F_{1}A}\perp\vec{F_{1}B}$ ，所以 $\vec{F_{1}A}⋅\vec{F_{1}B}=\left(\dfrac{8}{3}c,-\dfrac{2}{3}t\right)⋅\left(c,t\right)$ $=\dfrac{8}{3}c^{2}-\dfrac{2}{3}t^{2}=0$ ，则 $t^{2}=4c^{2}$ ， 又点 $A$ 在 $C$ 上，则 $\dfrac{\dfrac{25}{9}c^{2}}{a^{2}}-\dfrac{\dfrac{4}{9}t^{2}}{b^{2}}=1$ ，整理得 $\dfrac{25c^{2}}{9a^{2}}-\dfrac{4t^{2}}{9b^{2}}=1$ ，则 $\dfrac{25c^{2}}{9a^{2}}-\dfrac{16c^{2}}{9b^{2}}=1$ ， 所以 $25c^{2}b^{2}-16c^{2}a^{2}=9a^{2}b^{2}$ ，即 $25c^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)-16a^{2}c^{2}=9a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)$ ， 整理得 $25c^{4}-50a^{2}c^{2}+9a^{4}=0$ ，则 $\left(5c^{2}-9a^{2}\right)\left(5c^{2}-a^{2}\right)=0$ ，解得 $5c^{2}=9a^{2}$ 或 $5c^{2}=a^{2}$ ， 又 $e>1$ ，所以 $e=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ 或 $e=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ （舍去），故 $e=\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ . 故答案为： $\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$ . 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于 $a,b,c$ 的齐次方程，从而得解.