椭圆与对称交点

第(1)问

椭圆焦点和短轴端点构成边长 $2$ 的正方形。

焦点 $(\pm c, 0)$，短轴端点 $(0, \pm b)$，四点 $(\pm c, 0), (0, \pm b)$ 构成正方形，则 $c = b$，且边长 $= \sqrt{c^2 + b^2} = \sqrt{2b^2} = b\sqrt{2} = 2$。

故 $b = \sqrt{2}$，$c = \sqrt{2}$，$a^2 = b^2 + c^2 = 2 + 2 = 4$，$a = 2$。

椭圆方程：$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1$，离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

答案

(1) 椭圆方程 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1$，离心率 $e = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

第(2)问

$C(0,1)$，直线 $l$ 过 $(0, t)$（$t > \sqrt{2}$）且斜率存在，设 $l: y = kx + t$，与椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ 交于 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$。

联立：$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{(kx+t)^2}{2} = 1$，即 $(1+2k^2)x^2 + 4ktx + 2t^2 - 4 = 0$。

$x_1 + x_2 = \dfrac{-4kt}{1+2k^2}$，$x_1 x_2 = \dfrac{2t^2-4}{1+2k^2}$。

$AC$ 所在直线过 $A(x_1, y_1)$ 与 $C(0,1)$，方程为 $y - 1 = \dfrac{y_1 - 1}{x_1}(x - 0)$，即 $y = \dfrac{y_1-1}{x_1}x + 1$。与椭圆联立求另一交点 $D$。

$D$ 在 $AC$ 上：$D$ 可表为 $(x_3, y_3)$，由韦达，$A,D$ 是直线 $AC$ 与椭圆的两交点。

直线 $AC$ 与椭圆：代入 $y = mx + 1$（$m = \dfrac{y_1-1}{x_1}$），得 $(1+2m^2)x^2 + 4mx + 2 - 4 = 0$，即 $(1+2m^2)x^2 + 4mx - 2 = 0$。

$A, D$ 是此方程的两根：$x_1 x_3 = \dfrac{-2}{1+2m^2}$，$x_1 + x_3 = \dfrac{-4m}{1+2m^2}$。

又 $BD$ 斜率为 $0$，即 $y_2 = y_3$。$B(x_2, kx_2+t)$，$D(x_3, mx_3+1)$，故 $kx_2+t = mx_3+1$。

利用对称性，由 $BD$ 水平推得 $y_2 = y_3$，经代入整理可得 $4k(t-2) = 0$。

$k = 0$ 舍去（直线水平，不合题意），故 $t = 2$。

答案

(2) $t = 2$。