等差中项与弦长最小值

$b$ 是 $a,c$ 的等差中项：$2b=a+c$。直线 $ax+by+c=0$。

圆 $x^2+y^2+4y-1=0$，即 $x^2+(y+2)^2=5$，圆心 $(0,-2)$，半径 $r=\sqrt{5}$。

弦长 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$，$d$ 为圆心到直线距离。

$d=\dfrac{|a\cdot 0+b\cdot(-2)+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|-2b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|-2b+a+c-... |}{\sqrt{a^2+b^2}}$

由 $2b=a+c$，$c=2b-a$。

$-2b+c=-2b+2b-a=-a$。

$d=\dfrac{|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}$。

$b=\dfrac{a+c}{2}$，$c=2b-a$。设 $a=1$（比例），$c=2b-1$。

$d=\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}$。

$|AB|=2\sqrt{5-\dfrac{1}{1+b^2}}=2\sqrt{\dfrac{5(1+b^2)-1}{1+b^2}}=2\sqrt{\dfrac{5b^2+4}{b^2+1}}$

$h(b)=\dfrac{5b^2+4}{b^2+1}$，$h'(b)=\dfrac{10b(b^2+1)-2b(5b^2+4)}{(b^2+1)^2}=\dfrac{2b}{(b^2+1)^2}$

$b>0$ 时 $h$ 递增，$b<0$ 递减，$b=0$ 时 $h=4$ 为最小值。

$|AB|_{\min}=2\sqrt{4}=4$。

答案

选 C。$|AB|$ 的最小值为 $4$。