双曲线与抛物线交点

【答案】A 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出 $\left\{\begin{gathered}\left|PF_{1}\right|=3c+a \\ \left|PF_{2}\right|=3c-a=\left|PA\right|\end{gathered}\right.$ ，根据勾股定理从而确定P的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设 $F_{2}\left(\dfrac{p}{2},0\right)$ ，双曲线的半焦距为 $c$ ， $P\left(x_{0},y_{0}\right)$ ，则 $p=2c$ ， 过 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线l，过 $P$ 作l的垂线，垂足为A，显然直线 $AF_{1}$ 为抛物线的准线， 则 $\left|PA\right|=\left|PF_{2}\right|$ ， 由双曲线的定义及已知条件可知 $\left\{\begin{gathered}\left|PF_{1}\right|-\left|PF_{2}\right|=2a \\ \left|PF_{1}\right|+\left|PF_{2}\right|=6c\end{gathered}\right.$ ，则 $\left\{\begin{gathered}\left|PF_{1}\right|=3c+a \\ \left|PF_{2}\right|=3c-a=\left|PA\right|\end{gathered}\right.$ ， 由勾股定理可知 $\left|AF_{1}\right|^{2}=y_{0}^{2}=\left|PF_{1}\right|^{2}-\left|PA\right|^{2}=12ac$ ， 易知 $y_{0}^{2}=4cx_{0},\therefore x_{0}=3a$ ，即 $\dfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=\dfrac{9a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{12ac}{c^{2}-a^{2}}=1$ ， 整理得 $2c^{2}-3ac-2a^{2}=0=\left(2c+a\right)\left(c-2a\right)$ ，∴ $c=2a$ ，即离心率为2. 故选： [插图]