椭圆焦点与角平分

【答案】(1) $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ (2) 证明：由（1）可知 $P(2,1)$ ， $F(-1,0)$ ， $A(2,0)$ ， 易知直线 $PB$ 的斜率存在，设其方程为 $y=kx+m$ ，则 $1=2k+m$ ，即 $m=1-2k$ ， 联立 $\left\{\begin{matrix}y=kx+m \\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1\end{matrix}\right.$ ，消去 $y$ 得， $\left(3+4k^{2}\right)x^{2}+8kmx+4m^{2}-12=0$ ， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以 $\Delta=\left(8k⋅m\right)^{2}-4(3+4k^{2})⋅(4m^{2}-12)=0$ ， 即 $4k^{2}-m^{2}+3=0$ ，则 $4k^{2}-\left(1-2k\right)^{2}+3=0$ ，解得 $k=-\dfrac{1}{2}$ ，则 $m=2$ ， 所以直线 $PB$ 的方程为 $y=-\dfrac{1}{2}x+2$ ， 联立 $\left\{\begin{matrix}y=-\dfrac{1}{2}x+2 \\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1\end{matrix}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{matrix}x=1 \ y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$ ，则 $B(1,\dfrac{3}{2})$ ， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则 $\vec{FB}=\left(2,\dfrac{3}{2}\right),\vec{FP}=\left(3,1\right),\vec{FA}=\left(3,0\right)$ ， 所以 $\cos\angle BFP=\dfrac{\vec{FB}⋅\vec{FP}}{\left|\vec{FB}\right|⋅\left|\vec{FP}\right|}=\dfrac{2\times3+\dfrac{3}{2}\times1}{\sqrt{2^{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}}⋅\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ， $\cos\angle PFA=\dfrac{\vec{FA}⋅\vec{FP}}{\left|\vec{FA}\right|⋅\left|\vec{FP}\right|}=\dfrac{3\times3+1\times0}{3\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ， 则 $\cos\angle BFP=\cos\angle PFA$ ，又 $\angle BFP,\angle PFA\in(0,\dfrac{\pi}{2})$ ， 所以 $\angle BFP=\angle PFA$ ，即 $PF$ 平分 $\angle AFB$ . 法二：所以 $k_{FB}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-0}{1-(-1)}=\dfrac{3}{4}$ ， $k_{PF}=\dfrac{1-0}{2-(-1)}=\dfrac{1}{3}$ ， $k_{AF}=0$ ， 由两直线夹角公式，得 $\tan\angle BFP=\left|\dfrac{\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}}\right|=\dfrac{1}{3}$ ， $\tan\angle PFA=\left|\dfrac{\dfrac{1}{3}-0}{1+0}\right|=\dfrac{1}{3}$ ， 则 $\tan\angle BFP=\tan\angle PFA$ ，又 $\angle BFP,\angle PFA\in(0,\dfrac{\pi}{2})$ ， 所以 $\angle BFP=\angle PFA$ ，即 $PF$ 平分 $\angle AFB$ . 法三：则 $\tan\angle PFA=k_{PF}=\dfrac{1}{3}$ ， $\tan\angle BFA=k_{FB}=\dfrac{3}{4}$ ， 故 $\tan2\angle PFA=\dfrac{2\tan\angle PFA}{1-\tan^{2}\angle PFA}=\dfrac{2\times\dfrac{1}{3}}{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}=\dfrac{3}{4}=\tan\angle BFA$ ， 又 $\angle BFP,\angle PFA\in(0,\dfrac{\pi}{2})$ ， 所以 $\angle BFP=\angle PFA$ ，即 $PF$ 平分 $\angle AFB$ . 法四：则 $k_{FB}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-0}{1-(-1)}=\dfrac{3}{4}$ ， 所以直线 $FB$ 的方程为 $y=\dfrac{3}{4}\left(x+1\right)$ ，即 $3x-4y+3=0$ ， 则点 $P$ 到直线 $FB$ 的距离为 $d=\dfrac{\left|3\times2-4\times1+3\right|}{\sqrt{3^{2}+\left(-4\right)^{2}}}=1$ ， 又点 $P$ 到直线 $FA$ 的距离也为 $1$ ， 所以 $PF$ 平分 $\angle AFB$ . 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到 $a=2c$ ，再由直线 $PF$ 的斜率得到 $m=c$ ，从而利用三角形的面积公式得到关于 $c$ 的方程，解之即可得解 （2） 联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得 $k$ ，进而得到直线 $PB$ 的方程与点 $B$ 的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【详解】（1）依题意，设椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的半焦距为 $c$ ， 则左焦点 $F(-c,0)$ ，右顶点 $A(a,0)$ ，离心率 $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}$ ，即 $a=2c$ ， 因为 $P$ 为 $x=a$ 上一点，设 $P(a,m)$ ， 又直线 $PF$ 的斜率为 $\dfrac{1}{3}$ ，则 $\dfrac{m-0}{a-(-c)}=\dfrac{1}{3}$ ，即 $\dfrac{m}{a+c}=\dfrac{1}{3}$ ， 所以 $\dfrac{m}{2c+c}=\dfrac{1}{3}$ ，解得 $m=c$ ，则 $P(a,c)$ ，即 $P(2c,c)$ ， 因为 $\triangle PFA$ 的面积为 $\dfrac{3}{2}$ ， $|AF|=a-(-c)=a+c=3c$ ，高为 $|m|=c$ ， 所以 $S_{\triangle PFA}=\dfrac{1}{2}\left|AF\right|\left|m\right|=\dfrac{1}{2}\times3c\times c=\dfrac{3}{2}$ ，解得 $c=1$ ， 则 $a=2c=2$ ， $b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$ ， 所以椭圆的方程为 $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ . [插图] （2） 略