椭圆顶点焦点与面积关系

第(1)问

设椭圆半长轴为 $a$，半焦距为 $c$。左右顶点 $A_1(-a,0)$、$A_2(a,0)$，右焦点 $F(c,0)$。

$$|A_1F| = c - (-a) = a + c, \qquad |A_2F| = a - c$$

由题意

$$a + c = 3, \qquad a - c = 1$$

两式相加得 $2a = 4$，故 $a = 2$；相减得 $2c = 2$，故 $c = 1$。于是

$$b^2 = a^2 - c^2 = 4 - 1 = 3$$

椭圆方程为

$$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$$

离心率

$$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}$$

答案

(1) $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，$e=\dfrac{1}{2}$。

第(2)问

先固定记号：$A_1(-2,0)$，$A_2(2,0)$，$F(1,0)$，所以 $|A_2F|=1$。

设直线 $A_2P$ 的斜率为 $k$，则

$$A_2P:\ y = k(x-2)$$

令 $x=0$，得它与 $y$ 轴的交点

$$Q(0, -2k)$$

现在把 $P$ 的坐标用 $k$ 表示出来。把 $y = k(x-2)$ 代入椭圆方程：

$$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{k^2(x-2)^2}{3} = 1$$

两边同乘 $12$ 并展开：

$$3x^2 + 4k^2(x-2)^2 = 12$$ $$(3+4k^2)x^2 - 16k^2 x + 16k^2 - 12 = 0 \qquad (1)$$

直线 $y=k(x-2)$ 已经过 $A_2(2,0)$，所以 $x=2$ 一定是方程 $(1)$ 的一个根，这个根对应的就是 $A_2$ 点；另一个根才是 $P$ 点的横坐标 $x_P$。

设两根为 $2$ 与 $x_P$。由韦达定理（两根之积 $=\dfrac{c}{a}$，即常数项除以二次项系数）：

$$2 \cdot x_P = \dfrac{16k^2 - 12}{3 + 4k^2}$$

所以

$$x_P = \dfrac{8k^2 - 6}{3 + 4k^2}$$

代回 $y_P = k(x_P - 2)$：

$$y_P = k\left(\dfrac{8k^2 - 6}{3 + 4k^2} - 2\right) = k \cdot \dfrac{(8k^2 - 6) - 2(3 + 4k^2)}{3 + 4k^2} = -\dfrac{12k}{3 + 4k^2}$$

到这里 $P\left(\dfrac{8k^2-6}{3+4k^2},\ -\dfrac{12k}{3+4k^2}\right)$ 已经用斜率 $k$ 完全表示出来了。

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下面算两个面积。这里的关键想法是：选一条"横坐标好减"的边当底，高就用另一个点的纵坐标绝对值。

第一个面积 $S_{\triangle A_2FP}$：三点中 $A_2(2,0)$、$F(1,0)$ 都在 $x$ 轴上，所以底边 $A_2F$ 就在 $x$ 轴上，长度 $|A_2F|=1$，而 $P$ 到 $x$ 轴的"高度"正是 $|y_P|$。于是

$$S_{\triangle A_2FP} = \dfrac{1}{2} \times 1 \times \dfrac{12|k|}{3+4k^2} = \dfrac{6|k|}{3+4k^2} \qquad (2)$$

第二个面积 $S_{\triangle A_1PQ}$：这三个点不在同一水平线上，不能直接套上面的做法。这里用三角形最通用的面积公式。

已知三个顶点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$，三角形面积为

$$S = \dfrac{1}{2}\big| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \big|$$

这个公式怎么来的、为什么可信？ 可以这样理解：把三角形的三条边分别投影到坐标轴上，每个顶点都带着自己那一圈的"带符号小面积"，累加起来正好是整个三角形面积的二倍。它和我们熟悉的 $\dfrac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}$ 完全等价，只是不需要先找出底边、再算高——遇到"三个顶点坐标都知道、但不容易看出哪条是底边"的情况，它最省事。你也可以先用它算一个已知三角形（比如三个顶点 $(0,0)$、$(1,0)$、$(0,1)$，面积应为 $\dfrac{1}{2}$）验一验，建立信任。

代入本题 $A_1(-2,0)$、$P(x_P,y_P)$、$Q(0,-2k)$：

$$S_{\triangle A_1PQ} = \dfrac{1}{2}\big| -2\,(y_P - (-2k)) + x_P\,(-2k - 0) + 0\cdot(0 - y_P) \big|$$

第三项为 $0$，展开前两项：

$$= \dfrac{1}{2}\big| -2y_P - 4k - 2kx_P \big| = \big| y_P + kx_P + 2k \big|$$

把 $y_P = k(x_P - 2)$ 代入：

$$y_P + kx_P + 2k = k(x_P - 2) + kx_P + 2k = 2kx_P$$

所以

$$S_{\triangle A_1PQ} = 2|k|\cdot|x_P| = 2|k|\cdot\left|\dfrac{8k^2 - 6}{3 + 4k^2}\right| \qquad (3)$$

这一步是整道题的枢纽：$y_P + kx_P + 2k$ 里的 $-2k$ 与 $+2k$ 恰好抵消，剩下的 $2kx_P$ 极简洁——这就是设斜率 $k$ 当参数的好处，几何量全变成了 $k$ 的简单代数式。

最后列方程。 题意 $S_{\triangle A_1PQ} = 2 S_{\triangle A_2FP}$，把 $(2)$、$(3)$ 代入：

$$2|k| \cdot \dfrac{|8k^2 - 6|}{3 + 4k^2} = 2 \cdot \dfrac{6|k|}{3 + 4k^2}$$

两边都有因子 $\dfrac{2|k|}{3+4k^2}$。注意 $k \neq 0$（若 $k=0$，则 $A_2P$ 就是 $x$ 轴，$Q$ 与原点重合，$\triangle A_2FP$ 面积为 $0$，与题设矛盾），可以约去：

$$|8k^2 - 6| = 6$$

分成两种情况：

$$8k^2 - 6 = 6 \quad\text{或}\quad 8k^2 - 6 = -6$$

第一式：$8k^2 = 12$，$k^2 = \dfrac{3}{2}$，$k = \pm\dfrac{\sqrt6}{2}$。

第二式：$8k^2 = 0$，$k = 0$，已排除。

所以

$$k = \pm \dfrac{\sqrt6}{2}$$

代回直线方程，得 $A_2P$ 的两条直线：

$$y = \dfrac{\sqrt6}{2}(x - 2) \quad\text{或}\quad y = -\dfrac{\sqrt6}{2}(x - 2)$$

答案

(2) $A_2P$ 的方程为 $y=\dfrac{\sqrt6}{2}(x-2)$ 或 $y=-\dfrac{\sqrt6}{2}(x-2)$。

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一句话总结：直线过顶点时，韦达定理直接给出另一个交点；面积题先找"横轴上的底边"，再用坐标面积公式把两个面积都写成斜率的式子，最后解一个绝对值方程。