导数恒成立问题（含指数与对数）

解析

思路分析： 本题为指数与对数混合的恒成立问题，直接研究 $f(x) = a\mathrm{e}^{ax} - \ln x$ 的单调性与最小值，通过换元 $t = ax_0$ 将最小值表达式转化为关于 $t$ 的函数，利用 $g(t) = \dfrac{1}{t} - 2\ln t - t$ 的单调性确定临界条件。

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解： 令 $f(x) = a\mathrm{e}^{ax} - \ln x$，$x \geqslant 1$。

由 $f(1) = a\mathrm{e}^a \geqslant 0$ 得 $a \geqslant 0$。当 $a = 0$ 时 $f(x) = -\ln x \leqslant 0$（$x > 1$），不满足，故 $a > 0$。

求导：$f'(x) = a^2\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{1}{x}$，$f''(x) = a^3\mathrm{e}^{ax} + \dfrac{1}{x^2} > 0$，

故 $f'(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递增，$f'(1) = a^2\mathrm{e}^a - 1$。

（1）当 $f'(1) \geqslant 0$，即 $a^2\mathrm{e}^a \geqslant 1$ 时， $f'(x) \geqslant 0$ 恒成立，$f(x)$ 单调递增， $f(x) \geqslant f(1) = a\mathrm{e}^a > 0$，满足条件。

（2）当 $f'(1) < 0$，即 $a^2\mathrm{e}^a < 1$ 时， 存在唯一 $x_0 > 1$ 使 $f'(x_0) = 0$， $f(x)$ 在 $(1, x_0)$ 递减，$(x_0, +\infty)$ 递增， 最小值 $f(x_0) = a\mathrm{e}^{ax_0} - \ln x_0$。

由 $f'(x_0) = 0$ 得 $a^2\mathrm{e}^{ax_0} = \dfrac{1}{x_0}$，即 $a^2 x_0 \mathrm{e}^{ax_0} = 1$。

将 $\mathrm{e}^{ax_0} = \dfrac{1}{a^2 x_0}$ 代入 $f(x_0)$：

$f(x_0) = a \cdot \dfrac{1}{a^2 x_0} - \ln x_0 = \dfrac{1}{a x_0} - \ln x_0$

对 $a^2 x_0 \mathrm{e}^{ax_0} = 1$ 两边取对数：$2\ln a + \ln x_0 + a x_0 = 0$，即 $\ln x_0 = -2\ln a - a x_0$。

代入得：

$f(x_0) = \dfrac{1}{a x_0} + 2\ln a + a x_0$

令 $t = a x_0 > 0$，则 $f(x_0) = \dfrac{1}{t} + 2\ln a + t$。

由 $a \cdot a x_0 \cdot \mathrm{e}^{ax_0} = a \cdot t \cdot \mathrm{e}^t = 1$，即 $t \mathrm{e}^t = \dfrac{1}{a}$，

故 $a = \dfrac{1}{t \mathrm{e}^t}$，$\ln a = -\ln t - t$。

代入 $f(x_0)$：

$f(x_0) = \dfrac{1}{t} + 2(-\ln t - t) + t = \dfrac{1}{t} - 2\ln t - t$

设 $g(t) = \dfrac{1}{t} - 2\ln t - t$，$t > 0$，

$g'(t) = -\dfrac{1}{t^2} - \dfrac{2}{t} - 1 < 0$

故 $g(t)$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，且 $g(1) = 1 - 0 - 1 = 0$。

所以 $f(x_0) \geqslant 0 \iff g(t) \geqslant 0 \iff t \leqslant 1$。

由 $t \mathrm{e}^t = \dfrac{1}{a}$ 及 $t \leqslant 1$ 得 $\dfrac{1}{a} = t \mathrm{e}^t \leqslant 1 \cdot \mathrm{e}^1 = \mathrm{e}$，

即 $a \geqslant \dfrac{1}{\mathrm{e}}$。

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综上所述，$a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}}, +\infty\right)$，故选 A。

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验证： 取 $a = \dfrac{1}{\mathrm{e}} \approx 0.368$， $f(x) = \dfrac{1}{\mathrm{e}} \cdot \mathrm{e}^{x/\mathrm{e}} - \ln x$ 当 $x = \mathrm{e}$ 时，$f(\mathrm{e}) = \dfrac{1}{\mathrm{e}} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{e}/\mathrm{e}} - \ln \mathrm{e} = \dfrac{1}{\mathrm{e}} \cdot \mathrm{e} - 1 = 0$， 且 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，$\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 为临界值。

取 $a = 1$，$f(x) = \mathrm{e}^x - \ln x$，$f(1) = \mathrm{e} > 0$，满足条件，且 $1 > \dfrac{1}{\mathrm{e}}$，故 B 选项 $[1, +\infty)$ 虽然正确但范围过窄，非完整解集。

答案：A