双曲线弦中点

$C:x^2-\dfrac{y^2}{9}=1$。$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在 $C$ 上，中点 $M=(m,n)=(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$。

点差法：$x_1^2-\dfrac{y_1^2}{9}=1$，$x_2^2-\dfrac{y_2^2}{9}=1$。

相减：$(x_1-x_2)(x_1+x_2)-\dfrac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{9}=0$

$2m(x_1-x_2)=\dfrac{2n(y_1-y_2)}{9}$

$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac{9m}{n}$（中点弦斜率）。

需 $A,B$ 为双曲线同支上两点（$x_1,x_2$ 同号或异号但线段与双曲线相交）。

检查选项：

A. $(1,1)$：$k=\dfrac{9\cdot 1}{1}=9$。$M=(1,1)$ 在两支之间（$1-1/9=8/9<1$，不在曲线上，但在右支内侧）。直线 $y-1=9(x-1)$ 与 $C$ 联立。$x^2-\dfrac{(9x-8)^2}{9}=1$，$9x^2-(9x-8)^2=9$，$9x^2-81x^2+144x-64=9$，$-72x^2+144x-73=0$，$\Delta=144^2-4\cdot 72\cdot 73=20736-21024=-288<0$。无解。$\times$

B. $(-1,2)$：$k=\dfrac{9\cdot(-1)}{2}=-\dfrac{9}{2}$。$M$ 在 $C$ 内侧（$1-4/9=5/9<1$）。直线 $y-2=-\dfrac{9}{2}(x+1)$。联立... $\Delta$ 需 $>0$。$9x^2-\dfrac{(-\frac{9}{2}x-\frac{5}{2})^2\cdot... }{9}$...

C. $(1,3)$：$M$ 在 $C$ 上（$1-9/9=0\neq 1$）。$1-1=0<1$。$k=9/3=3$。直线 $y-3=3(x-1)$，$y=3x$。$x^2-\dfrac{9x^2}{9}=x^2-x^2=0\neq 1$。无交点。$\times$

D. $(-1,-4)$：$k=\dfrac{-9}{-4}=\dfrac{9}{4}$。$M$：$1-16/9=-7/9<1$。直线 $y+4=\dfrac{9}{4}(x+1)$，$y=\dfrac{9}{4}x-\dfrac{7}{4}$。

联立：$x^2-\dfrac{(\frac{9}{4}x-\frac{7}{4})^2}{9}=1$，$9x^2-\dfrac{(9x-7)^2}{16}=9$，$144x^2-(9x-7)^2=144$，$144x^2-81x^2+126x-49=144$，$63x^2+126x-193=0$。$\Delta=126^2+4\cdot 63\cdot 193=15876+48636=64512>0$。有解。$\checkmark$

验证两交点中点为 $(-1,-4)$：$x_1+x_2=\dfrac{-126}{63}=-2$，$\dfrac{x_1+x_2}{2}=-1$。$\checkmark$

答案

选 D。$(-1,-4)$ 可为 $AB$ 中点。