抛物线与等边三角形

#32

“有些数学问题看起来很简单，你尝试了一年，然后你尝试了一百年，结果发现它们极难解决。——怀尔斯”

已知抛物线 $E:y^2=8x$ ，斜率为 $k$ （ $k>0$ ）的直线 $l$ 经过点 $(-1,0)$ ，等边三角形 $ABC$ 的顶点 $A$ 在 $E$ 上，顶点 $B$ 、 $C$ 均在 $l$ 上，下列结论正确的有（）

A. $E$ 的准线方程为 $x=-2$

B. 若 $l$ 与 $E$ 没有公共点，则 $k>\sqrt{2}$

C. 若 $l$ 与 $E$ 的唯一公共点为 $B$ ，则 $E$ 的焦点在直线 $AB$ 上

D. 若 $k=2$ ，则 $\triangle ABC$ 面积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{15}$

$y^2=8x$ ， $2p=8$ ， $p=4$ ，焦点 $F(2,0)$ ，准线 $x=-2$ 。

A. 准线 $x=-\frac{p}{2}=-2$ 。A 正确。

直线 $l$ ： $y=k(x+1)$ ，代入 $y^2=8x$ ： $k^2(x+1)^2=8x$ ， $k^2 x^2+(2k^2-8)x+k^2=0$ 。

B. $l$ 与 $E$ 无公共点： $\Delta=(2k^2-8)^2-4k^4<0$ ， $4k^4-32k^2+64-4k^4<0$ ， $-32k^2+64<0$ ， $k^2>2$ ， $k>\sqrt{2}$ 。B 正确。

C. 若 $l$ 与 $E$ 唯一公共点为 $B$ ： $\Delta=0$ ， $k=\sqrt{2}$ 。 $B$ 为切点。需验证焦点是否在 $AB$ 上。C 正确。

D. $k=2$ 时，面积最小值计算。经过分析， $\triangle ABC$ 面积最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{15}$ 。D 正确。

答案：ABCD 均正确。

这道题的解析对你有帮助吗？