曲线定义与性质

由题意，曲线 $C$ 上任意一点 $P(x,y)$ 满足 $\sqrt{(x-2)^2+y^2} \cdot |x-a| = 4$。

（1）求 $a$ 的值，判断选项A。 曲线过原点 $(0,0)$，代入得 $\sqrt{(0-2)^2+0} \cdot |0-a| = 4$，即 $2|a|=4$，$|a|=2$。 由 $a<0$ 得 $a=-2$。故A正确。

（2）判断选项B。 $a=-2$，又 $x>-2$，故 $|x+2|=x+2$，曲线方程化为 $\sqrt{(x-2)^2+y^2} \cdot (x+2) = 4$。 将点 $(2\sqrt{2},0)$ 代入左边： $\sqrt{(2\sqrt{2}-2)^2+0} \cdot (2\sqrt{2}+2) = (2\sqrt{2}-2)(2\sqrt{2}+2) = 8-4 = 4$， 等于右边，故点 $(2\sqrt{2},0)$ 在曲线 $C$ 上。B正确。

（3）判断选项C。 方程两边平方：$(x-2)^2+y^2 = \dfrac{16}{(x+2)^2}$， 得 $y^2 = \dfrac{16}{(x+2)^2} - (x-2)^2$。 令 $f(x) = \dfrac{16}{(x+2)^2} - (x-2)^2$（$x>-2$）， 求导 $f'(x) = -\dfrac{32}{(x+2)^3} - 2(x-2)$。 令 $f'(x)=0$，得 $(2-x)(x+2)^3 = 16$。 可知 $x=0$ 是一个解（极小值点，$y=0$），另有一个正根 $x \approx 1.68$（极大值点）， 代入得 $f(x)_{\max} \approx 1.079$，即 $y_{\max} \approx 1.039 > 1$。 故曲线 $C$ 在第一象限的纵坐标最大值大于 $1$，C错误。

综上，正确结论的序号是 $\mathbf{AB}$。

答案

答案：A、B