椭圆切线与面积比

(1) 由题意, 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 $2a=4$, 所以 $a=2$.

离心率 $e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, 解得 $c=\sqrt{2}$.

由 $b^2=a^2-c^2=4-2=2$, 得 $b=\sqrt{2}$.

故 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$.

(2) 易知直线 $x_0x+2y_0y-4=0$ 是椭圆 $E$ 在点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线方程.

将 $y=2$ 代入切线方程, 得 $x_0x+4y_0-4=0$, 解得 $x_A=\dfrac{4-4y_0}{x_0}$, 所以 $A\left(\dfrac{4-4y_0}{x_0},2\right)$.

将 $y=-2$ 代入切线方程, 得 $x_0x-4y_0-4=0$, 解得 $x_B=\dfrac{4+4y_0}{x_0}$, 所以 $B\left(\dfrac{4+4y_0}{x_0},-2\right)$.

因为 $M(x_0,y_0)$ 在椭圆上, 所以 $\dfrac{x_0^2}{4}+\dfrac{y_0^2}{2}=1$, 即 $x_0^2=4-2y_0^2$.

计算 $|OA|$: $|OA|=\sqrt{\left(\frac{4-4y_0}{x_0}\right)^2+4}=\sqrt{\frac{16(1-y_0)^2+4x_0^2}{x_0^2}}=\sqrt{\frac{16-32y_0+16y_0^2+16-8y_0^2}{4-2y_0^2}}=\sqrt{\frac{8(2-y_0)^2}{2(2-y_0^2)}}=\frac{2|2-y_0|}{\sqrt{2-y_0^2}}.$

计算 $|OB|$: $|OB|=\sqrt{\left(\frac{4+4y_0}{x_0}\right)^2+4}=\sqrt{\frac{16(1+y_0)^2+4x_0^2}{x_0^2}}=\sqrt{\frac{16+32y_0+16y_0^2+16-8y_0^2}{4-2y_0^2}}=\sqrt{\frac{8(2+y_0)^2}{2(2-y_0^2)}}=\frac{2|2+y_0|}{\sqrt{2-y_0^2}}.$

所以 $\dfrac{|OA|}{|OB|}=\dfrac{|2-y_0|}{|2+y_0|}$.

另一方面, 因为 $A,M,B$ 三点共线 (都在切线 $x_0x+2y_0y-4=0$ 上), $\triangle OAM$ 和 $\triangle OBM$ 在公共顶点 $O$ 上的高相等 (均为点 $O$ 到直线 $AB$ 的距离), 所以面积比等于底边比: $\frac{S_1}{S_2}=\frac{|AM|}{|BM|}.$

计算 $|AM|$: $|AM|=\sqrt{\left(x_0-\frac{4-4y_0}{x_0}\right)^2+(2-y_0)^2}=\sqrt{\frac{(x_0^2-4+4y_0)^2}{x_0^2}+(2-y_0)^2}=\sqrt{\frac{(-2y_0^2+4y_0)^2}{4-2y_0^2}+(2-y_0)^2}$ $=\sqrt{\frac{4y_0^2(2-y_0)^2}{2(2-y_0^2)}+(2-y_0)^2}=|2-y_0|\sqrt{\frac{2y_0^2}{2-y_0^2}+1}=|2-y_0|\sqrt{\frac{2- y_0^2+2y_0^2}{2-y_0^2}}=|2-y_0|\sqrt{\frac{2+y_0^2}{2-y_0^2}}.$

计算 $|BM|$: $|BM|=\sqrt{\left(x_0-\frac{4+4y_0}{x_0}\right)^2+(y_0+2)^2}=\sqrt{\frac{(x_0^2-4-4y_0)^2}{x_0^2}+(y_0+2)^2}=\sqrt{\frac{(-2y_0^2-4y_0)^2}{4-2y_0^2}+(y_0+2)^2}$ $=\sqrt{\frac{4y_0^2(y_0+2)^2}{2(2-y_0^2)}+(y_0+2)^2}=|y_0+2|\sqrt{\frac{2y_0^2}{2-y_0^2}+1}=|y_0+2|\sqrt{\frac{2+y_0^2}{2-y_0^2}}.$

所以 $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{|AM|}{|BM|}=\dfrac{|2-y_0|}{|2+y_0|}$.

综上, $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{|OA|}{|OB|}$, 两者相等.