双曲线渐近线垂线

先看清几何关系。

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线是 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$，焦点 $F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$，其中 $c^2=a^2+b^2$。

从右焦点 $F_2$ 向渐近线作垂线，垂足为 $P$。关键事实：焦点到任一条渐近线的垂线段长度，恰好等于虚半轴长 $b$，即 $PF_2=b$。这个结论背下来很省时间，但这里把它推一遍——因为本题已知 $PF_2=2$，正好要用它。

第一步：求垂足 $P$。

过 $F_2(c,0)$ 作渐近线 $y=\dfrac{b}{a}x$ 的垂线。两条直线垂直，斜率乘积为 $-1$，所以垂线斜率为 $-\dfrac{a}{b}$，方程为

$$y = -\frac{a}{b}(x-c)$$

联立渐近线与垂线：

$$\frac{b}{a}x = -\frac{a}{b}(x-c)$$

两边乘 $ab$ 去分母：

$$b^2 x = -a^2 x + a^2 c$$ $$(a^2+b^2)x = a^2 c$$

注意到 $a^2+b^2=c^2$，于是

$$x = \frac{a^2 c}{c^2} = \frac{a^2}{c}$$

代回渐近线求纵坐标：

$$y = \frac{b}{a}\cdot\frac{a^2}{c} = \frac{ab}{c}$$

所以

$$P\left(\frac{a^2}{c},\ \frac{ab}{c}\right)$$

第二步：用 $PF_2=2$ 求出 $b$。

$$PF_2^2 = \left(c-\frac{a^2}{c}\right)^2 + \left(\frac{ab}{c}\right)^2 = \frac{(c^2-a^2)^2 + a^2b^2}{c^2}$$

而 $c^2-a^2=b^2$，代入：

$$PF_2^2 = \frac{b^4 + a^2b^2}{c^2} = \frac{b^2(a^2+b^2)}{c^2} = \frac{b^2\cdot c^2}{c^2} = b^2$$

所以 $PF_2 = b$。由已知 $PF_2=2$，得

$$b = 2$$

第三步：用 $PF_1$ 的斜率列方程。

先写出向量 $\overrightarrow{PF_1}$，其中 $F_1(-c,0)$：

$$\overrightarrow{PF_1} = \left(-c-\frac{a^2}{c},\ -\frac{ab}{c}\right)$$

第一个分量通分：

$$-c-\frac{a^2}{c} = -\frac{c^2+a^2}{c} = -\frac{(a^2+b^2)+a^2}{c} = -\frac{2a^2+b^2}{c}$$

于是

$$\overrightarrow{PF_1} = \left(-\frac{2a^2+b^2}{c},\ -\frac{ab}{c}\right)$$

两个分量都是负的，说明 $P$ 在第一象限而 $F_1$ 在左半轴，方向朝左下，合理。斜率为纵分量比横分量，分母的 $c$ 约掉：

$$k_{PF_1} = \dfrac{-ab/c}{-(2a^2+b^2)/c} = \frac{ab}{2a^2+b^2}$$

由题意等于 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$：

$$\frac{ab}{2a^2+b^2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$

第四步：代入 $b=2$ 解 $a$。

$$4a\cdot 2 = \sqrt{2}\,(2a^2+4)$$ $$8a = 2\sqrt{2}\,a^2 + 4\sqrt{2}$$

整理成标准二次方程（两边同除 $2$）：

$$\sqrt{2}\,a^2 - 4a + 2\sqrt{2} = 0$$

判别式

$$\Delta = 16 - 4\cdot\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2} = 16 - 16 = 0$$

判别式为 $0$，说明只有一个解（重根）——这也解释了两条渐近线只能给出一致的 $a$：

$$a = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$

于是 $a^2=2$，$b^2=4$，双曲线方程为

$$\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4} = 1$$

答案

选 D。$\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{4}=1$。

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一句话总结：焦点到渐近线的垂线段长等于 $b$（本题突破口）；垂足坐标用"联立渐近线与垂线"求出；剩下的就是斜率条件代入解二次方程，判别式为 $0$ 提示 $a$ 唯一确定。