椭圆与垂直证明

【答案】(1) $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ (2) 直线 $AB$ 的斜率必定存在，设 $AB:y=k(x-4)$ ， $A\left(x_{1},y_{1}\right)$ ， $B\left(x_{2},y_{2}\right)$ ， [插图] 由 $\left\{\begin{matrix}3x^{2}+4y^{2}=12 \ y=k(x-4)\end{matrix}\right.$ 可得 $\left(3+4k^{2}\right)x^{2}-32k^{2}x+64k^{2}-12=0$ ， 故 $\Delta=1024k^{4}-4\left(3+4k^{2}\right)\left(64k^{2}-12\right)>0$ ，故 $-\dfrac{1}{2}<k<\dfrac{1}{2}$ ， 又 $x_{1}+x_{2}=\dfrac{32k^{2}}{3+4k^{2}},x_{1}x_{2}=\dfrac{64k^{2}-12}{3+4k^{2}}$ ， 而 $N\left(\dfrac{5}{2},0\right)$ ，故直线 $BN:y=\dfrac{y_{2}}{x_{2}-\dfrac{5}{2}}\left(x-\dfrac{5}{2}\right)$ ，故 $y_{Q}=\dfrac{-\dfrac{3}{2}y_{2}}{x_{2}-\dfrac{5}{2}}=\dfrac{-3y_{2}}{2x_{2}-5}$ ， 所以 $y_{1}-y_{Q}=y_{1}+\dfrac{3y_{2}}{2x_{2}-5}=\dfrac{y_{1}\times\left(2x_{2}-5\right)+3y_{2}}{2x_{2}-5}$ $=\dfrac{k\left(x_{1}-4\right)\times\left(2x_{2}-5\right)+3k\left(x_{2}-4\right)}{2x_{2}-5}$ $=k\dfrac{2x_{1}x_{2}-5\left(x_{1}+x_{2}\right)+8}{2x_{2}-5}=k\dfrac{2\times\dfrac{64k^{2}-12}{3+4k^{2}}-5\times\dfrac{32k^{2}}{3+4k^{2}}+8}{2x_{2}-5}$ $=k\dfrac{\dfrac{128k^{2}-24-160k^{2}+24+32k^{2}}{3+4k^{2}}}{2x_{2}-5}=0$ ， 故 $y_{1}=y_{Q}$ ，即 $AQ\perp y$ 轴. 【分析】（1）设 $F\left(c,0\right)$ ，根据 $M$ 的坐标及 $MF\perp$ $x$ 轴可求基本量，故可求椭圆方程 （2） 设 $AB:y=k(x-4)$ ， $A\left(x_{1},y_{1}\right)$ ， $B\left(x_{2},y_{2}\right)$ ，联立直线方程和椭圆方程，用 $A,B$ 的坐标表示 $y_{1}-y_{Q}$ ，结合韦达定理化简前者可得 $y_{1}-y_{Q}=0$ ，故可证 $AQ\perp y$ 轴. 【详解】（1）设 $F\left(c,0\right)$ ，由题设有 $c=1$ 且 $\dfrac{b^{2}}{a}=\dfrac{3}{2}$ ，故 $\dfrac{a^{2}-1}{a}=\dfrac{3}{2}$ ，故 $a=2$ ，故 $b=\sqrt{3}$ ， 故椭圆方程为 $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ （2） 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1） 设直线方程，设交点坐标为 $\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right)$ （2） 联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 $x$ （或 $y$ ）的一元二次方程，注意 $\Delta$ 的判断 （3） 列出韦达定理 （4） 将所求问题或题中的关系转化为 $x_{1}+x_{2}$ 、 $x_{1}x_{2}$ （或 $y_{1}+y_{2}$ 、 $y_{1}y_{2}$ ）的形式 （5） 代入韦达定理求解.