过定点的直线束

分析：把方程按参数 $k$ 整理，看成关于 $k$ 的恒等式。

整理

移项，把含 $k$ 的项与不含 $k$ 的项分开：

关键

这个等式要对任意实数 $k$ 成立。把它看成关于 $k$ 的一次函数

一次函数恒为零，必须

于是

答案

这些直线都过定点 $P(-2,3)$。

验证

把 $P(-2,3)$ 代入原方程：

• $k=0$：$y=3$，过 $P$
• $k=1$：$0=0$
• $k=100$：$0=0$

对任意 $k$ 都成立。

注意

这个结论不含竖直线 $x=-2$。因为原方程是点斜式，斜率 $k$ 表示不了竖直线。完整的说法是：过 $P(-2,3)$ 的所有非竖直直线。

一般地，$y-y_0=k(x-x_0)$ 对任意 $k$ 表示过定点 $(x_0,y_0)$ 的直线束（不含竖直线）。

方法：遇到含参数且参数任意的直线方程，按参数整理成 $A(x,y)\cdot k+B(x,y)=0$，令 $A=B=0$ 即得定点。