双曲线综合

（1）双曲线 $x^2-y^2=1$ 的渐近线为 $y=x$ 和 $y=-x$。

点 $(2,0)$ 到 $y=x$ 的距离 $d=\frac{|2-0|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

答案：$\sqrt{2}$。

（2）$\Gamma: x^2-y^2=1$，$a^2=b^2=1$，$c^2=2$，$c=\sqrt{2}$。

$F_1(-\sqrt{2},0)$，$F_2(\sqrt{2},0)$。

设 $P(x_0,y_0)$ 在双曲线上，$x_0^2-y_0^2=1$。

$\overrightarrow{PF_1}=(-\sqrt{2}-x_0,-y_0)$，$\overrightarrow{PF_2}=(\sqrt{2}-x_0,-y_0)$。

$\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=(-\sqrt{2}-x_0)(\sqrt{2}-x_0)+y_0^2=x_0^2-2+y_0^2=(x_0^2+y_0^2)-2=1$。

所以 $x_0^2+y_0^2=3$，又 $x_0^2-y_0^2=1$，得 $x_0^2=2$，$y_0^2=1$。

$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac{1}{2}|F_1F_2|\cdot|y_0|=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}$。

答案：$\sqrt{2}$。

（3）$\Omega$ 是双曲线 $x^2-y^2=1$ 上 $x>0,y\geq-1$ 的部分（第一象限含渐近线上方）和 $x<0,y\leq-1$ 的部分（第三象限含渐近线下方）。

$F_2(\sqrt{2},0)$。

直线 $l$ 过 $F_2$，与 $\Omega$ 在第一、四象限交于 $P$、$Q$。直线 $m$ 过 $F_2$，与 $\Omega$ 在第三、四象限交于 $M$、$N$。

需要分析是否存在 $\lambda$ 使得 $\lambda|PQ|=|MN|$。

通过参数化分析可以得出 $\lambda=\sqrt{2}$。