方田术：最朴素的面积公式
《九章算术》开篇第一题——算一块田地的面积。两千年前的古人，和今天的小学生，学的是同一个公式。但这道题背后，藏着中国古代数学的基本性格。
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九
九章算术
Nine Chapters on the Mathematical Art
逐题细读中国古代数学经典。246 道题，九章内容，用现代数学语言重新解读，关联高中课本，发现古人的智慧与局限。
246 题 · 32 讲已更新 · 还有 214 讲即将上线
讲义
圭田术：三角形面积的智慧
方田章第二题——算一块三角形田地的面积。古人的方法和今天的公式一模一样，但他们为什么叫它「圭田」？「半广以乘正从」这句话里，藏着中国古代数学的证明思路。
邪田术：梯形面积公式的由来
方田章第三题——算一块梯形田地的面积。古人把梯形叫做「邪田」，因为它是斜的。而他们的解法「并两广而半之，以乘正从」，其实就是今天的梯形面积公式。为什么古人要把梯形切一刀变成两个三角形？这个方法两千年来没变过。
邪田术二：对称的智慧
方田章第四题——还是邪田，但这次上下底互换了，变成「上底长下底短」。古人为什么要出两道看起来一样的题？背后面藏着古人对数学分类的思考，也暗合了今天数学里「对称性」的概念。
箕田术：等腰梯形里的对称之美
方田章第五题——算一块等腰梯形田地的面积。古人把这种形状叫做「箕田」，因为长得像簸箕。舌广和踵广的区别，藏着古人对对称性的直觉理解。而「舌踵相半」的思想，在现代数学里依然闪耀。
圆田术：周三径一的秘密
方田章第六题——算一块圆形田地的面积。古人用「周三径一」算圆面积，结果和今天用π算的差多少？更关键的是，古人是怎么知道这个公式的？这篇文章带你回到两千年前，看看没有圆周率，古人怎么算圆。
圆田术二：割圆术的前夜
方田章第七题——还是圆田，但数据变成了周长181步、直径60又三分之一步。数字不再是整数，古人为什么要出这么复杂的题？这背后藏着古人对圆周率精度的觉醒，以及刘徽割圆术诞生的前夜。
宛田术：球冠形的秘密
方田章第八题——算一块宛田（球冠形）的面积。古人的公式和现代球冠面积公式差在哪里？「宛田」到底长什么样，是一个球冠还是一个圆锥台？这篇文章带你一探究竟。
弧田术：弓形面积的近似算法
方田章第九题——算一块弓形（弧田）田地的面积。古人只知道弦长和矢高，没有三角函数，却给出了一个巧妙的近似公式。这个公式误差有多大？它和今天的弓形面积公式差在哪里？刘徽后来又是怎么改进它的？
环田术：圆环面积的智慧
方田章第十题——算一块圆环形田地的面积。古人知道外圆面积减去内圆面积就是环田面积，但他们的方法比我们想的更巧妙——直接用「中周加外周，半之，以径乘之」。这个公式背后是一种化归思想：把圆环变成梯形。
环田术二：带分数的圆环面积
方田章第十一题——环田术的进阶版，数据全是带分数。外周长一百一十三步二分步之一，内周长六十二步四分步之三，环宽十二步三分步之二。古人用同样的公式，面对的是更复杂的分数运算，这恰恰体现了古人在分数计算上的功力。
里田术：从平方步到平方里——古代单位换算的智慧
方田章第十二题——从平方步到亩、从平方里到亩，古人如何在不同的面积单位之间换算。里田术看似是简单的单位换算，但背后藏着中国土地制度和国家治理的深层逻辑。
里田术二：当田大到用"里"来量
方田章第十三题——上一讲我们算了一块1里×1里的正方形田，这次来了个2里×3里的长方形。单纯乘一下算面积当然不难，但有意思的是：古人在这个"更大"的例子里，把里田术的核心逻辑完整展现了一遍。
约分术：更相减损——老祖宗的辗转相除法
方田章第十四题——把十二分之十八约成最简分数。今人学了约分就忘，古人却把它当成一个专门的「术」来研究。更相减损术里藏着欧几里得算法的核心思想，两千年前的中国古人已经掌握了求最大公约数最朴素的方法，比西方早了不止一个时代。
约分术二：更相减损——91和49的较量
方田章第十五题——把九十一分之四十九约成最简分数。91和49看起来没什么关系，但反复减下去，它们居然有共同的「根」。更相减损术的强大之处在于：它不依赖你一眼看出公因数，它像个机械的齿轮，一步一步地把答案给你转出来。
合分术：分数加法——古人也会通分
方田章第十六题——三分之一加上五分之二，用更原始的方法算出答案。合分术的核心就是\"母互乘子，并以为实，策定相乘为法\"，翻译成人话就是：通分之后分子相加。这和今天的算法一模一样，只是古人不说\"通分\"，他们叫\"合分\"。
合分术二：三个分数相加——齐同术的开端
方田章第十七题——上一讲是两个分数相加，这一次是三个。分母 3、7、9 之间有公因数，直接「母互乘子」得到的 189 分之 317 并不最简，需要约分才能落到 63 分之 50。刘徽在这一题的注里把方法提到理论高度：齐同术，这两条原则将贯穿整部《九章算术》，一直用到方程章。
减分术：分数减法——古人也懂退位
方田章第十八题——九分之八减去五分之一。减分术和合分术只差一个字，但操作完全不同。古人说「子相减，母不变」，听起来简单，但当分子不够减时就要退位——这种退位思想和今天的借一当十一模一样。
减分术二：四分之三减三分之一——通分的反向操练
方田章第十九题—— 减去 。这道题和上一讲唯一的不同是数字换了一下，但背后算法完全相同：母相为列、以少减多、母互乘子、余约之即得。有趣的是，这道题的答案是个整数。
课分术：比较分数大小——古人也做分数竞赛
方田章第二十题——五分之二和四分之三谁更大？课分术的核心是\"通分再比分子\"，但《九章》的表述非常精炼：\"通其策，母相乘\"。这道题和今天的'分数比大小'完全一致，只是古人不说'通分'，他们说'通策'。
课分术二：九分之八 vs 七分之六——课分术的再练习
方田章第二十一题——再次比较两个分数。课分术的核心是通分后比分子，这次用九分之八和七分之六再做一遍。同一道题的不同数据，训练相同的算法。
平分术：三个分数找平均——古人也会求均值
方田章第二十二题——三分之一、三分之二、四分之三，减多益少，让它们相等。这就是现代数学中的「求平均数」。古人用的「平分术」和今天的加权平均算法完全等价，但他们的视角更操作化——把多少的东西匀给少的，直到大家都一样。
平分术二：四个分数找平均——从一碗水端平到加权平均
方田章第二十三题——二分之一、三分之二、四分之三、五分之四，减多益少，让它们相等。这是平方术第一讲的进阶版，从三个分数扩展到四个分数。四个数的平均看似简单，但「减多益少」的操作复杂度成倍增加——你到底要从谁那里减多少，补给谁？平均数的计算过程，比结果本身更有意思。
经分术：分数除法——七个人分八又三分之一钱，每人得多少
方田章第二十四题——七人分八钱三分钱之一。这是《九章算术》中「经分术」的经典用例：带分数除法。古人没有「除以一个数相当于乘以它的倒数」这个概念，他们用通分的方法来处理——把除数和被除数都变成同分母，然后分子相除。今天看起来不过是倒数相乘的简单操作，但在没有分数除法符号的年代，这已经是一套相当完整的算法了。
经分术二：三又三分之一人分七又十二分之一钱
方田章第二十五题——不仅是分数除法，连除数本身都是分数。三又三分之一人分六又三分之一钱和四分之三钱——人数和钱数都是带分数，古人怎么算？「重有分者同而通之」——这句口诀在此时派上了大用场。
乘分术：分数乘法的几何源头——矩形面积怎么算？
方田章第二十六题——当田地的长和宽都是分数时，面积怎么算？「母相乘为法，子相乘为实」——这十二个字，就是分数乘法法则最早的完整表述。两千年前的土地丈量，催生了最纯粹的代数运算。
乘分术二：分数乘法中的先约后算——古人的简算智慧
当分数乘法遇上公因数，先约分还是先相乘？《九章算术》给出了最优解。本题展示古人如何在计算中灵活运用约分技巧，让繁琐的运算一步到位。
乘分术三：当分子遇见分母——约分让计算更轻盈
五分步之四乘九分步之五，看似分子分母各走各路，实则暗含约分之机。乘分术三题由浅入深，古人用最朴素的语言，道出分数乘法最核心的秘密。
大广田术：带分数乘法法则——当长宽都是零头数
一块长方形田地，宽是 步，长是 步，面积是多少？《九章算术》给出了世界上最早的带分数乘法系统法则。分母乘整数加分子，这一步骤沿用至今。
大广田术二：带分数乘法再探——先约分再相乘的巧思
一块长方形田地，宽是 步，长是 步，面积是多少？《九章算术》再次施展大广田术，这次答案不是整数而是带分数——约分的巧思让计算大大简化。
大广田术三：当分数乘法遇上单位换算——古代面积计算的完整图景
一块广十八步七分步之五、从二十三步十一分步之六的田地，面积如何表达？本题首次出现以亩为单位的带分数答案，完整呈现方田章分数乘法与面积换算的规范流程。
圭田术：世界上最早的三角形面积公式
《方田》章中一道关于等腰三角形面积的计算题，术文仅六字却道尽三角形面积的本质。半广乘正从，与现代公式 完全一致，领先世界数百年。