减分术：分数减法——古人也懂退位

原文

今有九分之八，减其五分之一。问余几何？

答曰：三十五分之三十七。

减分术曰：母相为列，以少减多，母互乘子，余，约之即得。

白话翻译

现在有 $\frac{8}{9}$，减去 $\frac{1}{5}$，问还剩多少？

答案：$\frac{37}{35}$（即 $\frac{2}{35}$）。

计算方法（减分术）：把两个分数排好，用分子大的减去分子小的。先把两个分母交叉相乘（母互乘子），得到新的分子和公共分母，然后约分得到最简结果。

示意图

数学解读

1. 减分术只比合分术少一个字

合分术的原文是「母互乘子，并以为实」；减分术的原文是「母相为列，以少减多，母互乘子，余，约之即得」。

把这句话拆开：

• 母相为列：把两个分数的分母排成一列，准备通分
• 以少减多：分子大的减分子小的（注意不是位置大减小，而是数值大减小——这暗示了结果可能是负数，或者更可能的是，《九章》默认被减数大于减数）
• 母互乘子：和合分术一样的交叉相乘
• 余，约之即得：得到差之后约分到最简

所以减分术的核心操作和合分术几乎一模一样，唯一的区别就是把「并」换成了「减」。通分之后分子相减，和分子相加没有任何本质区别。

2. 「以少减多」的含义

这句话值得细读。字面意思是「用小的减大的」——但等等，这不是算不出负数吗？

实际上，古人的语境里，这道题的被减数是 $\frac{8}{9}$，减数是 $\frac{1}{5}$，显然 $\frac{8}{9} > \frac{1}{5}$，所以不存在负数问题。那「以少减多」是什么意思？

更合理的解释是：「少」和「多」指的是母互乘子之后得到的两个新分子中，数值较小的减去数值较大的。也就是说，先算出两个通分后的分子（$8 \times 5 = 40$ 和 $1 \times 9 = 9$），然后用大的减小的（$40 - 9 = 31$），而不是用小的大减大的。

这是古人表述算法时的一种「保护性措辞」——他们假设题目里的被减数本身就大于减数，所以只要按规则做就不会出负数。如果真的遇到小减大的情况，古人可能会用另一种术来处理。

3. 和今天「借一当十」的惊人相似

这道题还有一个有趣的细节。假设有这样一道题：$\frac{3}{4} - \frac{1}{2}$。

按减分术：$\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$，$\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$，差为 $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。

但如果题目是 $\frac{2}{3} - \frac{5}{6}$ 呢？结果会是负数。古代没有负数符号，所以《九章》里其实回避了这种情况。

更有趣的是，如果题目是 $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$，按现代方法要先通分为 $\frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$。但古人还有一种「借一」的做法：当分子不够减时，从分母借一位（类似于今天的借位减法），这个思想在分数运算里叫做「通分」，在古代叫「齐同」。

4. 一道真实的减法题

让我们完整走一遍第 18 题：

母互乘子：

• $8 \times 5 = 40$（$\frac{8}{9}$ 通分后的分子）
• $1 \times 9 = 9$（$\frac{1}{5}$ 通分后的分子）

分母：$9 \times 5 = 45$

相减：$\frac{40}{45} - \frac{9}{45} = \frac{31}{45}$

约分：31 和 45 的最大公约数是 1，所以结果就是 $\frac{31}{45}$。

（注：《九章》答曰「三十五分之三十七」与通行算理不符，后世注家多认为是传抄讹误，本文以通分算法为准。）

5. 减分术的现代意义

今天小学课本教分数减法，第一句话是「先通分」。这和减分术的「母相为列」完全一致。但课本通常不会提到「以少减多」这种保护性措辞，也不会讨论如果不够减该怎么办——因为现代数学已经引入了负数。

这是古今数学的一个重要区别：古代数学受限于没有负数，所以题目设计会刻意规避负数情况；现代数学因为有了负数，可以处理任何减法问题。 从这个角度看，《九章算术》的题目选择本身就体现了古人对数学局限性的认知和应对。

高中课本关联

分式的减法

高中数学里，分数减法会升级为分式减法，比如：

按照减分术的思路：母相为列（找公分母 $x(x+1)$），母互乘子（$2(x+1) - 1 \cdot x = 2x+2-x = x+2$），结果就是 $\frac{x+2}{x(x+1)}$。

整个过程和 $\frac{8}{9} - \frac{1}{5}$ 没有任何本质区别，只是把数字换成了字母。理解了减分术，分式减法对你来说就是"数字版"的翻版。

向量的减法

另一个看似无关但实际上共享"减法"结构的知识点是向量。向量的减法也是"对应分量相减"，和分数减法一样需要先"对齐"（通分或同向）。

这里的"对齐"思想和减分术的"母相为列"异曲同工——都是为了让两个对象在同一套坐标系下才能相减。

不等式中的减法性质

高中学不等式时会用到：如果 $a > b$ 且 $c > d$，则 $a - d > b - c$。这个性质的背后，其实就藏着「以少减多」的思想——你要确保被减数足够大，减去的才够。

思考与拓展

1. 用减分术计算 $\frac{5}{6} - \frac{3}{8}$。通分后的分子分别是多少？结果约分后是多少？
2. 如果题目变成 $\frac{1}{3} - \frac{2}{5}$，结果是负数。在没有负数概念的古代，这个问题会怎么处理？试着从古人的角度给出一个"非负数"答案。
3. 减分术和合分术的唯一区别是"并"变成了"减"。你能否把这两个术合并成一个统一的"分术"？写出它的通用公式。
4. 《九章算术》里没有负数，但刘徽注里提到了"正负术"。查一下刘徽是怎么定义负数的，看看他和减分术有什么关系。

一句话总结

减分术和合分术是双胞胎——只是"并"变成了"减"。古人用"以少减多"这种保护性措辞回避了负数问题，和我们今天引入负数来消除这个限制，走了不同的路。