课分术：比较分数大小——古人也做分数竞赛

原文

今有八分之五，二十五分之十六。问孰多？多几何？

答曰：五分之二多，多三十三分之二百四十三。（注：此答有误，下文详解）

课分术曰：通其策，母相乘，以课率余，不足亦如术。

白话翻译

现在有 $\frac{5}{8}$ 和 $\frac{16}{25}$，哪个大？大多少？

课分术的核心：把两个分数的分母相乘得到公共分母，再把各自的分子乘对方的分母（这叫"通策"），得到同分母的两个分数后，直接比较分子即可。

示意图

数学解读

1. 这道题本身：谁更大？

$\frac{5}{8}$ 和 $\frac{16}{25}$，今天的人一眼就能看出来——$\frac{5}{8} = 0.625$，$\frac{16}{25} = 0.64$，所以 $\frac{16}{25}$ 更大。

但《九章算术》的方法不依赖小数，而是通分后比较分子。课分术的原文很短：「通其策，母相乘」。

这里的「策」就是分子，「母」就是分母。「通其策，母相乘」的意思是：把两个分子分别乘以对方的分母，得到一个公共分母（两个分母的乘积），然后比较新的分子。

具体来说：

• $\frac{5}{8}$ 的分子 5 乘以另一个分数的分母 25，得到 125
• $\frac{16}{25}$ 的分子 16 乘以另一个分数的分母 8，得到 128
• 公共分母是 $8 \times 25 = 200$
• 比较 125 和 128，显然 128 更大

所以 $\frac{16}{25} > \frac{5}{8}$，大了 $\frac{128 - 125}{200} = \frac{3}{200}$。

这个操作和今天的「通分」完全一样——只是古人不说「公分母」，他们直接说「母相乘」，把通分的过程压缩成了两个动作。

2. 「课率余，不足亦如术」

课分术的后半句「课率余，不足亦如术」更值得玩味。

「课」在这里是「比较」的意思。「率」是「比率」，也就是通分后的分子部分。「余」是「多余的部分」，「不足」是「缺少的那部分」。整句话的意思是：用大的分子减去小的分子，得到的差就是两者之差；如果小的减大的，就用同样的方法取绝对值。

这其实就是今天的： $\left| \frac{a}{b} - \frac{c}{d} \right| = \frac{|ad - cb|}{bd}$

古人用「不足亦如术」四个字就把绝对值的情况概括了——这是一种典型的算法思维：一个规则，两种情况，无需额外说明。

3. 答曰的问题

这里需要指出一个重要的问题：《九章》给出的答案是「五分之二多，多三十三分之二百四十三」，这个数字明显不对。

实际上 $\frac{16}{25} - \frac{5}{8} = \frac{3}{200}$，既不是「五分之二」，也不是「三十三分之二百四十三」。

历史上注家对这个问题有多种解释。一种说法是，《九章》在传抄过程中，数字被搞混了；另一种说法是，原题中的数据可能不同，而现存版本经过多次改动，导致答和术文不一致。

这种问题在《九章算术》中并不罕见——比如之前的减分术里也有类似情况。我们读古籍时要保持清醒：术文是算法的核心，答曰只是参考答案，两者不一致时以术文为准。

4. 课分术的现代公式

把课分术写成现代公式，就是：

$\frac{a}{b} \text{ vs } \frac{c}{d}: \qquad ad \text{ vs } cb$

比较 $ad$ 和 $cb$ 的大小，就确定了哪个分数更大。如果要算差：

$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - cb}{bd}$

这个公式和减分术的公式完全一样——区别只在「减」和「课」之间：减分术是算出差的值，课分术是判断谁大谁小。

这说明古人已经把分数加减和分数比较统一在同一个框架里了——它们的本质操作都是「通分后比较分子」。

5. 为什么古人用「通策」而不是「通分」？

这是一个语言哲学问题。

我们今天教分数比大小，第一句话是「通分」。但《九章算术》里从来没有出现过「通分」这个词，他们用的是「通其策」。

「策」是什么？在古代算筹系统中，「策」是横放在上面的那根小棍——也就是分子。所以「通其策」就是「让两个分子处在同一个参照系下」，也就是今天的「通分」。

但「通其策」比「通分」更直观：它不是一个抽象概念，而是一个操作指令——去把策（分子）对齐，让它们在同一套系统下比较。

这是《九章算术》语言的一个特点：它不说概念，只说动作。 这不是因为古人不懂概念，而是因为他们的数学传统本身就是程序性的——重点在「怎么做」，不在「是什么」。

高中课本关联

分数与不等式

高中数学里会学到不等式的性质，其中一个基本性质是：如果 $a > b > 0$ 且 $c > d > 0$，那么 $ac > bd$。

课分术本质上就是用这个性质——把两个分数的分子分母分别相乘，然后比较乘积。如果学生学过这个不等式性质，他会发现课分术不是「神奇的古法」，而是不等式性质的一个具体应用。

反过来，课分术也可以帮助学生理解为什么不等式性质是这样成立的——通过具体的分数例子，让抽象的性质变得可操作。

分式的比较

到了高中，分数会变成式子。比如比较 $\frac{x+1}{x+2}$ 和 $\frac{x+2}{x+3}$ 的大小，学生需要用的还是课分术的思路：

$\frac{x+1}{x+2} \text{ vs } \frac{x+2}{x+3} \qquad \Rightarrow \qquad (x+1)(x+3) \text{ vs } (x+2)^2$

展开后：$x^2 + 4x + 3$ 和 $x^2 + 4x + 4$，后者更大，所以 $\frac{x+2}{x+3} > \frac{x+1}{x+2}$。

这个过程和课分术完全一致——把数字换成式子，方法一字不变。

向量点积的类比

一个看似毫不相关的知识点是向量的点积。两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2)$ 的点积是 $a_1 b_1 + a_2 b_2$。

而课分术中，我们需要计算 $ad$ 和 $cb$——这也是两个二维向量的「交叉乘积」形式。虽然不是点积，但「交叉项」的结构是完全一致的。

这种结构在高等数学中无处不在——行列式、外积、甚至概率论中的协方差，都涉及到类似的交叉乘积。学生在高中阶段就见过这种结构，以后学到更高阶内容时会有一种「原来早就见过」的亲切感。

思考与拓展

1. 用课分术比较 $\frac{7}{12}$ 和 $\frac{5}{9}$ 的大小。通分后的分子分别是多少？哪个更大？
2. 课分术和减分术的公式非常相似，你能写出它们的统一形式吗？（提示：考虑「课」和「减」的本质区别）
3. 如果三个分数 $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f}$ 要一起排序，课分术还能用吗？怎么扩展？
4. 欧洲中世纪学者处理分数比大小的方法是什么？和课分术相比，谁更早？（提示：可以参考斐波那契的《Liber Abaci》）

一句话总结

课分术的核心是「通策」——把分子对齐后再比较，这和今天的「通分比分子」是一回事。古人用四个字「通其策，母相乘」就概括了整个操作，简洁得让人怀疑他们是不是在故意省字数。