大广田术三：当分数乘法遇上单位换算——古代面积计算的完整图景

原文

又有田广十八步七分步之五，从二十三步十一分步之六。问为田几何？

答曰：一亩二百步十一分步之七。

大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法，实如法而一。

白话翻译

又有一块田地，宽（广）是 $18\dfrac{5}{7}$ 步，长（从）是 $23\dfrac{6}{11}$ 步。问这块田的面积是多少？

答：一亩又 $200\dfrac{7}{11}$ 步。

大广田术的方法是：分母分别乘以各自的整数部分，再加上分子，得到各自的分子；两个分子相乘作为"实"（被除数）。两个分母相乘作为"法"（除数）。实除以法就得结果。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

第一步：将带分数化为假分数

$\text{广} = 18\frac{5}{7} = \frac{18 \times 7 + 5}{7} = \frac{126 + 5}{7} = \frac{131}{7}$

$\text{从} = 23\frac{6}{11} = \frac{23 \times 11 + 6}{11} = \frac{253 + 6}{11} = \frac{259}{11}$

第二步：两分数相乘求面积

$\text{面积} = \frac{131}{7} \times \frac{259}{11} = \frac{131 \times 259}{7 \times 11} = \frac{33929}{77}$

第三步：化简并化为带分数

$\frac{33929}{77} = \frac{4847}{11} = 440\frac{7}{11} \text{（平方步）}$

验证：$440 \times 11 + 7 = 4840 + 7 = 4847$ ✓

第四步：面积单位换算（平方步 → 亩）

古制：$1 \text{ 亩} = 240 \text{ 平方步}$

$440\frac{7}{11} \div 240 = \frac{4847}{11} \times \frac{1}{240} = \frac{4847}{2640} = 1\frac{2207}{2640}$

但更直观的做法是：

$440\frac{7}{11} = 240 + 200\frac{7}{11}$

即：$1 \text{ 亩}$ 余 $200\dfrac{7}{11} \text{ 平方步}$

最终答案：一亩二百步十一分步之七（即 $1 \text{ 亩 } 200\dfrac{7}{11} \text{ 平方步}$）

二、古术逐句解释

"分母各乘其全，分子从之"

"全"指带分数中的整数部分。这句话的意思是：用分母乘以整数部分，再加上分子。

对于广 $18\dfrac{5}{7}$：分母 $7 \times$ 全 $18 +$ 分子 $5 = 126 + 5 = 131$

对于从 $23\dfrac{6}{11}$：分母 $11 \times$ 全 $23 +$ 分子 $6 = 253 + 6 = 259$

这正是将带分数化为假分数的标准操作。

"相乘为实"

将上面得到的两个结果（作为分子）相乘：$131 \times 259 = 33929$，这就是"实"（被除数）。

"分母相乘为法"

两个分母相乘：$7 \times 11 = 77$，这就是"法"（除数）。

"实如法而一"

"实如法而一"是《九章算术》的固定术语，意为"实除以法"。

$\frac{33929}{77} = 440\frac{7}{11}$

三、古今对照验证

步骤	古代表述	现代数学语言
化带分数为假分数	分母各乘其全，分子从之	$a\dfrac{b}{c} = \dfrac{ac+b}{c}$
分数乘法	相乘为实，分母相乘为法	$\dfrac{m}{n} \times \dfrac{p}{q} = \dfrac{mp}{nq}$
除法运算	实如法而一	被除数 $\div$ 除数
单位换算	以亩法二百四十步除之	$1 \text{ 亩} = 240 \text{ 平方步}$

数字验证：

• 古术计算：$\dfrac{131 \times 259}{7 \times 11} = \dfrac{33929}{77} = 440\dfrac{7}{11}$ 平方步
• 现代计算：$\left(18\dfrac{5}{7}\right)\left(23\dfrac{6}{11}\right) = \dfrac{131}{7} \times \dfrac{259}{11} = 440\dfrac{7}{11}$ 平方步
• 单位换算：$440\dfrac{7}{11} = 240 + 200\dfrac{7}{11} = 1 \text{ 亩 } 200\dfrac{7}{11} \text{ 平方步}$

完全一致。

四、本题的特殊意义

本题是方田章中首次出现以"亩"为单位表达带分数面积的题目。此前的题目面积都小于1亩，直接用平方步表示；本题面积超过1亩，需要换算为亩制。

这体现了古代数学的实用性原则：计算结果要符合实际使用习惯。土地面积在达到亩级以上时，用"亩+余步"的形式表达最为清晰。

五、中西比较

分数乘法法则在中国《九章算术》（约公元前1世纪）中已经系统化。相比之下：

• 古埃及（约公元前1650年，莱因德纸草书）：分数运算主要依赖单位分数（分子为1的分数）表，方法繁琐。
• 古印度（约公元5世纪，阿耶波多）：已有分数乘法记载，但晚于中国数百年。
• 欧洲（约公元13世纪，斐波那契《算经》）：系统引入阿拉伯数学中的分数运算方法。

中国数学的特点是算法的程序化——"大广田术"给出了适用于所有同类问题的通用步骤，体现了中国古代数学"寓理于算"的传统。

高中课本关联

知识点对应：

1. 分数的运算（人教A版必修第一册）

   • 带分数与假分数的互化
   • 分数的乘除法

2. 带分数与假分数的互化公式 $a\frac{b}{c} = \frac{ac+b}{c} \quad (a, b, c \in \mathbb{Z}, c > 0, 0 < b < c)$

高考考法联系：

本题的核心运算法则与高考中"数学文化"类试题高度相关。近年来高考常以《九章算术》等古代数学典籍为背景，考查：

• 阅读理解古代算法的能力
• 将古代方法转化为现代数学语言
• 执行准确的分数运算

典型考法示例：

《九章算术》中的"大广田术"给出了计算______的算法。

此类题目要求学生既能理解古文，又能准确执行计算。

思考与拓展

练习1：基础计算

一块田广 $12\dfrac{3}{5}$ 步，从 $15\dfrac{2}{7}$ 步，问为田几何？（答案用平方步表示）

提示：使用大广田术，先化带分数为假分数，再相乘。

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练习2：单位换算

某田面积为 $568\dfrac{4}{9}$ 平方步，换算为亩制表示。

提示：1亩 = 240平方步，用面积除以240，商为亩数，余数保留为平方步。

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练习3：逆向思维

一块田面积为 $2\dfrac{1}{3}$ 平方步，已知广为 $1\dfrac{2}{5}$ 步，求从。

提示：从 = 面积 ÷ 广，运用分数除法法则。

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参考答案：

1. $\dfrac{63}{5} \times \dfrac{107}{7} = \dfrac{6741}{35} = 192\dfrac{21}{35} = 192\dfrac{3}{5}$ 平方步

2. $568\dfrac{4}{9} = \dfrac{5116}{9}$，$\dfrac{5116}{9} \div 240 = \dfrac{5116}{2160} = 2\dfrac{796}{2160} = 2\dfrac{199}{540}$ 亩 或：$568\dfrac{4}{9} - 480 = 88\dfrac{4}{9}$，即 $2 \text{ 亩 } 88\dfrac{4}{9} \text{ 平方步}$

3. $2\dfrac{1}{3} \div 1\dfrac{2}{5} = \dfrac{7}{3} \div \dfrac{7}{5} = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}$ 步

一句话总结

大广田术三完整展示了古代分数面积计算的标准流程：带分数化假分数→分子相乘为实、分母相乘为法→实如法而一→按需换算单位，体现了中国古代数学算法化、程序化的鲜明特色。