大广田术二：带分数乘法再探——先约分再相乘的巧思

原文

又有田广七步四分步之三，从十五步九分步之五。问为田几何？

答曰：一百二十步九分步之五。

大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法，实如法而一。

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白话翻译

又有一块长方形田地，宽是 $7\frac{3}{4}$ 步（七又四分之三步），长是 $15\frac{5}{9}$ 步（十五又九分之五步）。问这块田的面积是多少？

答：一百二十又九分之五平方步。

大广田术的方法是：分母分别乘以对应的整数部分，再加上各自的分子，得到假分数；把两个假分数的分子相乘作为"实"（被除数），分母相乘作为"法"（除数）；用实除以法，得到结果。

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示意图

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数学解读

一、现代解法完整过程

题目要求长方形的面积，即宽与长的乘积：

$\text{面积} = 7\frac{3}{4} \times 15\frac{5}{9}$

第一步：将带分数化为假分数

$7\frac{3}{4} = \frac{7 \times 4 + 3}{4} = \frac{31}{4}$

$15\frac{5}{9} = \frac{15 \times 9 + 5}{9} = \frac{140}{9}$

第二步：分数乘法——先约分再相乘

$\frac{31}{4} \times \frac{140}{9}$

观察到 $140$ 与 $4$ 有公因数 $4$，先约分：$140 \div 4 = 35$，$4 \div 4 = 1$，于是：

$\frac{31}{4} \times \frac{140}{9} = \frac{31 \times 35}{1 \times 9} = \frac{1085}{9}$

第三步：化为带分数

$1085 \div 9 = 120 \cdots \cdots 5$

所以：

$\frac{1085}{9} = 120\frac{5}{9} \text{（平方步）}$

这块田的面积是 $120\frac{5}{9}$ 平方步，与原文答案"一百二十步九分步之五"完全一致。

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二、古术逐句解释

"大广田术"在第 29 讲中已经登场，这里再次使用，术文完全相同，但数据不同，答案也从整数变成了带分数。

第一句："分母各乘其全，分子从之"

"全"指整数部分。对宽 $7\frac{3}{4}$：分母 $4$ 乘整数 $7$ 加分子 $3$，得 $31$，即 $\frac{31}{4}$。对长 $15\frac{5}{9}$：分母 $9$ 乘整数 $15$ 加分子 $5$，得 $140$，即 $\frac{140}{9}$。

第二句："相乘为实"

两个假分数的分子相乘：$31 \times 140 = 4340$，此积为"实"。

第三句："分母相乘为法"

两个假分数的分母相乘：$4 \times 9 = 36$，此积为"法"。

第四句："实如法而一"

以实除以法：$\frac{4340}{36}$。约分（分子分母同除以 $4$）得 $\frac{1085}{9}$，再化为带分数 $120\frac{5}{9}$。

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三、古今对照验证

步骤	古代表述	现代数学语言
化假分数	分母各乘其全，分子从之	$a\frac{b}{c} = \frac{ac+b}{c}$
分子相乘	相乘为实	$31 \times 140 = 4340$
分母相乘	分母相乘为法	$4 \times 9 = 36$
求商	实如法而一	$\frac{4340}{36} = \frac{1085}{9} = 120\frac{5}{9}$

代入本题数据验证：

$\frac{31}{4} \times \frac{140}{9} = \frac{4340}{36} = \frac{1085}{9} = 120\frac{5}{9} \text{（平方步）}$

古今算法完全一致，结果均为 $120\frac{5}{9}$ 平方步。

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四、约分的巧思

本题与第 29 讲的关键区别在于：第 29 讲中 $\frac{10}{3} \times \frac{27}{5} = \frac{270}{15} = 18$，分子恰好被分母整除，答案是整数；而本题 $\frac{31}{4} \times \frac{140}{9} = \frac{4340}{36}$，分子不能被分母整除，答案是一个带分数。

在计算过程中，古人实际上做了一个重要的简化：$140$ 与 $4$ 先约分为 $35$ 与 $1$，于是 $31 \times 35 = 1085$，分母只剩 $9$。如果不约分直接算 $31 \times 140 = 4340$，再除以 $36$，数字更大，约分也更麻烦。这种"先约分再相乘"的策略，与现代数学中分数乘法的标准做法完全一致。

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五、中西比较

《九章算术》成书于公元一世纪左右，大广田术已经给出了完整的带分数乘法法则，并且暗含了约分的优化思想。

对比西方：古希腊数学以几何见长，分数运算并非其强项。欧洲中世纪商业算术中，带分数运算长期依赖繁琐的"通分"程序，直到 15—16 世纪意大利商业算术学派才系统整理出分数乘法的简便算法。中国古算的"术"是一套可操作的程序，任何同类题型都可直接套用，这种算法化思想比西方早了约一千年。

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高中课本关联

知识点：分式的乘法与约分

本题直接对应高中数学人教 A 版必修第一册中"分式及其运算"的核心内容。带分数化假分数、分数乘法先约分再相乘，是高中数学的基本功，在解析几何、概率统计、导数运算等模块中频繁使用。

高考考法：

1. 数学文化题：近年高考注重数学文化渗透，常以《九章算术》等古代数学文献为素材，要求学生理解古文题意并求解。本题的"实如法而一"就是需要翻译的古代术语，"分母各乘其全，分子从之"需要转化为现代数学表达式。

2. 算法与程序框图：高考数学"算法初步"相关题目常以古代算法为背景，考查程序框图的设计。大广田术的"化假分数→分子相乘→分母相乘→实如法而一"就是一个典型的四步算法。

3. 运算能力考查：带分数与假分数的互化、分数的乘除运算，是高中数学运算能力的基础考查点，在解答题中作为中间步骤频繁出现。

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思考与拓展

练习 1：基础应用

一块田广 $3\frac{2}{5}$ 步，从 $4\frac{1}{3}$ 步。用大广田术求面积。

提示：$\frac{17}{5} \times \frac{13}{3} = \frac{221}{15} = 14\frac{11}{15}$（平方步）

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练习 2：约分策略

在大广田术二中，如果不约分直接计算 $31 \times 140 = 4340$、$4 \times 9 = 36$，再对 $\frac{4340}{36}$ 约分，过程会怎样？比较两种方法的优劣。

提示：$\frac{4340}{36}$ 需要找到公因数 $4$ 才能约分为 $\frac{1085}{9}$，数字较大时找公因数更困难。先约分再相乘，数字更小，计算更简洁。这体现了"化繁为简"的数学思想。

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练习 3：比较与归纳

比较第 29 讲和第 30 讲两道题的答案：第一题答案是整数 $18$，第二题答案是带分数 $120\frac{5}{9}$。为什么会出现这种差异？你能总结出什么规律？

提示：第一题 $\frac{10}{3} \times \frac{27}{5} = \frac{270}{15}$，分子 $270$ 能被分母 $15$ 整除；第二题 $\frac{31}{4} \times \frac{140}{9} = \frac{1085}{9}$，分子 $1085$ 不能被分母 $9$ 整除。规律：分数乘法的结果是否为整数，取决于分子之积能否被分母之积整除。

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一句话总结

大广田术二再次施展带分数乘法法则，答案从整数变为带分数——"先约分再相乘"的巧思让计算大大简化，体现了古算"化繁为简"的算法智慧。