课分术二：九分之八 vs 七分之六——课分术的再练习

原文

又有九分之八，七分之六。问孰多？多几何？

答曰：无。（注：通行本作答，此处据刘徽注本补）

课分术曰：通其策，母相乘，以课率余，不足亦如术。

白话翻译

现在有 $\frac{8}{9}$ 和 $\frac{6}{7}$，哪个大？大多少？

课分术的核心：把两个分数的分母相乘得到公共分母，再把各自的分子乘对方的分母，得到同分母的两个分数后，直接比较分子即可。

示意图

数学解读

1. 这道题本身：谁更大？

$\frac{8}{9}$ 和 $\frac{6}{7}$，今天的人也可以一眼看出来——$\frac{8}{9} \approx 0.889$，$\frac{6}{7} \approx 0.857$，所以 $\frac{8}{9}$ 更大。

但《九章算术》的方法不依赖小数，而是通分后比较分子。课分术的原文和前一题完全一样：「通其策，母相乘」。

2. 课分术的具体计算

按课分术操作：

$\frac{8}{9} \text{ vs } \frac{6}{7}: \quad 8 \times 7 = 56, \quad 6 \times 9 = 54$

公共分母：$9 \times 7 = 63$。

所以 $\frac{8}{9} = \frac{56}{63}$，$\frac{6}{7} = \frac{54}{63}$。

比较分子：$56 > 54$，所以 $\frac{8}{9} > \frac{6}{7}$。

差为：

$\frac{8}{9} - \frac{6}{7} = \frac{56 - 54}{63} = \frac{2}{63}$

3. 为什么这一题没有"答曰错误"的问题？

第 20 题的答曰有明显错误（"五分之二多，多三十三分之二百四十三"），但第 21 题的答曰在通行本中只写了"无"（或某些版本直接没有答曰）。刘徽注对此题有详细注解，强调课分术的通用性。

这道题的答案其实非常简单——$\frac{8}{9}$ 比 $\frac{6}{7}$ 大，大了 $\frac{2}{63}$。但古人可能认为答案显而易见，不需要写出来。这也是一种数学表达的简洁风格。

4. 课分术和减分术的统一

这两道题（课分术和减分术）展示了古人对分数的两个核心操作：

• 课分术：比较大小 → 通分后比分子
• 减分术：计算差值 → 通分后减分子

但它们的算法骨架是完全一样的：通分 → 操作分子 → 约分。区别只在最后一步是"比"还是"减"。

这说明古人已经意识到分数比较和分数减法共享同一个计算框架——这个框架就是"通分"。

5. 两个分数为什么这么接近？

$\frac{8}{9}$ 和 $\frac{6}{7}$ 的实际差距只有 $\frac{2}{63} \approx 0.032$，非常接近。这说明古人出题时选择了两个"难分高下"的分数——如果选 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{9}{10}$，差距太大，就体现不出课分术的必要性。

这种出题方式在今天的小学课本里也很常见——老师会故意选两个很接近的数，让学生真正理解"通分"的必要性，而不是靠直觉就能判断。

高中课本关联

函数的单调性

到了高中，比较分数大小会升级为比较函数值的大小。比如比较 $\frac{n+1}{n+2}$ 和 $\frac{n+2}{n+3}$ 在 $n = 8$ 时的值。

这实际上就是课分术的推广——把数字换成代数式，方法一字不变：

$\frac{8+1}{8+2} = \frac{9}{10}, \quad \frac{8+2}{8+3} = \frac{10}{11}$

用课分术：$9 \times 11 = 99$，$10 \times 10 = 100$，所以 $\frac{10}{11} > \frac{9}{10}$。

这个过程和 $\frac{8}{9}$ vs $\frac{6}{7}$ 没有任何本质区别。

分式的化简

课分术中需要通分，通分后得到的分子和分母往往可以约分。这和高中分式化简的思路一致——找到最简形式。

比如 $\frac{56}{63}$ 可以约分为 $\frac{8}{9}$（因为 $56 = 8 \times 7$，$63 = 9 \times 7$）。这个约分过程就是找分子分母的最大公约数。

不等式的传递性

课分术本质上是在比较两个分数的大小。高中阶段会学到不等式的传递性：如果 $a > b$ 且 $b > c$，那么 $a > c$。

这个性质可以用来扩展课分术——如果有三个分数要排序，可以先两两比较，然后用传递性得到完整排序。虽然实际操作中可以直接用通分一次性解决，但传递性是课分术的逻辑基础。

思考与拓展

1. 用课分术比较 $\frac{7}{11}$ 和 $\frac{5}{8}$ 的大小。通分后的分子分别是多少？哪个更大？

2. 课分术和减分术的公式非常相似，你能写出它们的统一形式吗？（提示：考虑"课"和"减"的本质区别——一个是比大小，一个是算差值）

3. 如果三个分数 $\frac{8}{9}, \frac{6}{7}, \frac{5}{6}$ 要一起排序，课分术还能用吗？怎么扩展？（提示：两两比较 + 传递性）

4. 欧洲中世纪学者处理分数比大小的方法是什么？和课分术相比，谁更早？（提示：可以参考斐波那契的《Liber Abaci》，成书于 1202 年）

一句话总结

课分术的核心是「通策」——把分子对齐后再比较，这和今天的「通分比分子」是一回事。同一套算法在不同数据上的重复使用，正是《九章》"以类相从"的编排智慧。