平分术二：四个分数找平均——从一碗水端平到加权平均

原文

今有三分之一，三分之二，四分之三，五分之四。问减多益少，各几何而平？

答曰：减三分之二者一，四分之三者八之三，五分之四者四之一；益二分之一者三十六之十七，而各平于三百六十分之二百二十七。

平分术曰：各置其数，以母互乘子，以少减多，余以为实。各取分母相乘，所得为法。实如法而一，得平。以平数减多者，亦加少者，各得多少之数。

白话翻译

现在有四个分数：$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{4}{5}$。问：从大的分数中减去多少，补到小的分数上，才能使它们相等？

这道题是上一讲（第22题，三个分数）的升级版。四个分数，而且分母各不相同（2、3、4、5），通分后的分母是 $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$。但《九章》原文用的是 $360$（即 $2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 3$，多乘了一个3，可能是为了结果的整数性）。

先通分到 $360$ 的分母：

求和：$180 + 240 + 270 + 288 = 978$，除以 4 得 $244.5$。咦，不是整数？

等等，原文说"各平于三百六十分之二百二十七"，即 $\frac{227}{360}$。我们验证一下：

而 $\frac{227}{360} \approx 0.6306$，显然不相等。所以这里又有"笔误"——$\frac{227}{360}$ 应该是 $\frac{244.5}{360}$，但 $\frac{244.5}{360} = \frac{489}{720}$，分母取 $360$ 时分子应是 $244.5$，但古人不用小数，所以可能需要另一个分母。最合理的结论是：原文的答案 $\frac{227}{360}$ 是传抄错误，真正的平均值应该是 $\frac{978}{1440} = \frac{163}{240} \approx 0.6792$。

不过，这道题的真正价值不在答案本身，而在"平分术"如何处理四个数的情况。

示意图

数学解读

1. 四个数的"减多益少"，复杂度翻倍

三个数的平分数，我们只需要"减多者、益少者"，中位数不动或微调。四个数就不一样了——最小的 $\frac{1}{2}$ 需要补，最大的 $\frac{4}{5}$ 需要减，中间两个 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ 也要同步调整。

想象一下四杯水，水量分别是半杯、六成满、七成半、八成满。你要让它们都一样多——你从最大杯里倒出一些，加到最小杯里，但中杯和小杯之间也要匀。最终，所有人都是同一个水平线。

这个"多次匀"的过程，就是"平分术"的算法精髓。它之所以叫"减多益少"而不是"一刀切"，是因为古人关注的是操作过程，而不仅仅是结果。

2. 平分术的算法拆解

用现代数学重走一遍平分术的步骤。

第一步：通分。

四个分数 $\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{4}{5}$，分母取 $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$：

第二步：求和。

第三步：除以份数（4个分数）。

所以平均数为 $\frac{163}{2 \times 120} = \frac{163}{240}$。

第四步：减多益少。

• $\frac{1}{2}$ 需要加：$\frac{163}{240} - \frac{1}{2} = \frac{163}{240} - \frac{120}{240} = \frac{43}{240}$
• $\frac{2}{3}$ 需要减：$\frac{2}{3} - \frac{163}{240} = \frac{160}{240} - \frac{163}{240} = -\frac{3}{240}$（负的，说明也需要加，但幅度很小）
• $\frac{3}{4}$ 需要减：$\frac{3}{4} - \frac{163}{240} = \frac{180}{240} - \frac{163}{240} = \frac{17}{240}$
• $\frac{4}{5}$ 需要减：$\frac{4}{5} - \frac{163}{240} = \frac{192}{240} - \frac{163}{240} = \frac{29}{240}$

等等，$\frac{2}{3} = \frac{160}{240} < \frac{163}{240}$，所以实际上最小的是 $\frac{1}{2}$，第二小的是 $\frac{2}{3}$，第三大的是 $\frac{3}{4}$，最大的是 $\frac{4}{5}$。也就是说，最小的两个需要加，最大的两个需要减。

这个"边界跨界"的现象很有意思——直觉上你可能以为 $\frac{2}{3}$ 是中位数，但实际上它比平均值还小一点。四个数都偏向于大数一侧（$\frac{3}{4}$ 和 $\frac{4}{5}$ 都大于平均数），所以平均数被拉低了，$\frac{2}{3}$ 竟然也低于平均线。

3. 从四个数推广到 N 个数

平分术的操作可以推广到任意 N 个分数：

通分分母取 $b_1 \times b_2 \times \cdots \times b_n = B$，则：

这个公式在数学上等价于现代算术平均数的定义：

但古人用"减多益少"来描述这个过程，比现代数学的"求和除以 n"更有画面感——你不是在算一个冷冰冰的公式，而是在"匀"东西。

4. 为什么选这四个分数？

$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{4}{5}$——这组分数很有讲究。

首先，它们的分母是 2、3、4、5，四个连续自然数。分子是 1、2、3、4，也是连续的。这种"等差数列"式的排列，使得通分后的分母 $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$ 也是一个"整齐"的数。

其次，这四个分数的数值分别为 0.5、0.6667、0.75、0.8，刚好从 0.5 到 0.8 均匀递增。这是一个非常适合"减多益少"演示的跨度——如果选 $\frac{1}{100}$ 和 $\frac{99}{100}$，差距太大，"匀"的过程就太极端了。如果选 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{3}{5}$，差距太小，又看不出"减多益少"的必要性。

用今天的眼光看，这组分数的选择体现了数学教育的"难度梯度"思想——从两个分数（第16题合分术）到三个分数（第22题平分术），再到四个分数（第23题），每一步都只增加一个变量，让学生在可控的复杂度下理解新概念。

5. 答案的"笔误"再思考

和上一讲一样，这道题的答案也存在传抄问题。原文说"各平于三百六十分之二百二十七"，但按现代数学计算，应该是 $\frac{163}{240}$。

这让我想到一个有趣的问题：古代数学家知道答案错了吗？

在纸笔传抄的时代，一个数字传错了，后面的人要么照抄（不敢改），要么发现不对但不敢改（因为"经典不可改"），要么改了但没改对。这种"抄错"现象在《九章算术》中并不罕见，但我们要理解——古人看重的是"平分术"这个算法本身，而不是某一个具体题目的答案。

就好比今天的数学老师教学生"求平均数"，偶尔也会在黑板上算错一个数字，但学生学会了方法，回去自己算一遍就能发现。方法对了，答案错了，可以原谅；方法错了，答案再精确也没用。

高中课本关联

算术平均数与加权平均数的关系

四个数取平均，本质上是"每个数的权重相等"。但如果权重不同，就是加权平均。

在高中数学中，加权平均最常见的形式是"频率分布表求平均数"——每个组的组中值乘以该组的频率，再求和。这和"平分术"的"通分→求和→除以份数"完全一致，只不过"通分"变成了"乘以频率"。

另一个有趣的场景是"运动会评分"：去掉一个最高分、去掉一个最低分，再取平均。这其实是对"减多益少"的修正——如果最高分和最低分差距太大，直接取平均就不合理了。古人没有"去掉最高最低"的概念，但"减多益少"的"减"和"益"正是要调整这种不均衡。

数列与不等式中的应用

四个数 $\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{4}{5}$ 形成一个递增数列。它们的平均值介于最小和最大之间，这是"算术平均数的介值性"——任何一组数的算术平均数都在最小值和最大值之间。

在高中数学中，这个性质经常用于证明不等式。比如：已知 $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$，则 $\frac{1}{n} \sum a_i$ 一定介于 $a_1$ 和 $a_n$ 之间。这个性质看似简单，但它是很多不等式证明的起点。

分数的通分与最小公倍数

这道题的通分分母是 $2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$，但最小公倍数 LCM(2,3,4,5) = 60，用 60 通分其实就够了：

但古人用"各分母相乘"而不是"各分母的最小公倍数"，因为乘积法更通用、不需要额外计算。这和高中的分数加减法——先找最小公分母、再通分——是同一个思路，但古人选了"更笨但更可靠"的方式。

思考与拓展

1. 用平分术计算 $\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{6}$ 四个分数的平均数。通分后分母是多少？平均值是多少？这几个分数有什么特点？

2. 如果四个分数的权重分别是 2:1:1:2（即 $\frac{1}{2}$ 权重2，$\frac{2}{3}$ 权重1，$\frac{3}{4}$ 权重1，$\frac{4}{5}$ 权重2），那么加权平均是多少？"减多益少"应该怎么调整？

3. 思考：$\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{4}{5} < \frac{5}{6} < \cdots$ 这个数列有什么规律？它的通项公式是什么？当 $n \to \infty$ 时，$\frac{n}{n+1}$ 的极限是多少？这个数列的平均数会收敛到哪里？

一句话总结

四个数的"减多益少"比三个数复杂得多——最小的和次小的都要"益"，最大的和次大的都要"减"——但"匀"的本质不变，平均数就是让所有数相等的那条"水平线"。