经分术二：三又三分之一人分七又十二分之一钱

原文

又有三人三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三。问人得几何？

答曰：人得二钱八分钱之一。

经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。

白话翻译

现在有 $3\frac{1}{3}$ 个人（三又三分之一人），分 $6\frac{1}{3}$ 钱和 $\frac{3}{4}$ 钱。问每人分得多少钱？

答案：每人得 $2\frac{1}{8}$ 钱。

注意这道题和上一讲 "经分术" 的区别：

• 上一讲：7 个人分 $8\frac{1}{3}$ 钱——人数是整数
• 这一讲：$3\frac{1}{3}$ 个人分 $6\frac{1}{3} + \frac{3}{4}$ 钱——人数和钱数都是分数

古人的经分术说："有分者通之，重有分者同而通之"——如果有分数，先通分。如果"重有分"（好几层分数），就一起通分再除。"同"是"齐同"（通分）的意思——让分数单位统一。

数学解读

1. 这道题到底想考察什么？

乍一看，这道题和上一讲区别不大——都是分钱，都涉及分数除法。但仔细看会发现几个关键升级：

升级一：人数不再是整数。 上题是"7个人"，整数好理解。这题是 $3\frac{1}{3}$ 人——三分之一个人？这在实际生活中是什么概念？可能是三个人加上一个小孩（算 $\frac{1}{3}$ 的劳动力），也可能是四个人轮流干活，但一个人只干了三分之一的时间。

升级二：钱数分成两笔。 上题是一笔总钱数 $8\frac{1}{3}$ 钱。这题是 $6\frac{1}{3}$ 钱和 $\frac{3}{4}$ 钱——两笔钱合起来再分。这就多了一步：先相加，再除。

升级三："重有分者同而通之"的实战。 人数是分数，钱数也是分数，分数套分数——"重有分"——这时候普通的通分不够用了，需要把除数和被除数一起通分到同一个分母，然后分子相除。

2. 一步一步算

第一步：先把两笔钱加起来

$$6\frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{19}{3} + \frac{3}{4}$$

通分（分母 12）：

$$\frac{19 \times 4}{3 \times 4} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{76}{12} + \frac{9}{12} = \frac{85}{12}$$

所以总钱数是 $\frac{85}{12}$ 钱。

第二步：人数化为假分数

$$3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$$

第三步：分钱——总钱数 ÷ 人数

$$\frac{85}{12} \div \frac{10}{3}$$

按照经分术的"重有分者同而通之"：把除数和被除数通分到同一个分母（12）：

$$\frac{85}{12} \div \frac{40}{12} = \frac{85}{40} = \frac{17}{8} = 2\frac{1}{8}$$

答：每人得 $2\frac{1}{8}$ 钱。和《九章》的答案完全一致。

3. "重有分者同而通之"——这句口诀到底在说什么？

"重有分"三个字非常精炼。"重"（chóng）是"多层、重复"的意思——分子分母里边都有分数，分数套分数。

举个例子：$\dfrac{\frac{3}{4}}{6}$ 就是简单的分数套分数（分子是分数）。而 $\dfrac{\frac{85}{12}}{\frac{10}{3}}$ 是分子分母都是分数。这时候怎么办？

古人说"同而通之"——把分子分母通分成同一个分数单位。这不就是今天做的除以一个分数等于乘以它的倒数吗？

$$\frac{85}{12} \div \frac{10}{3} = \frac{85}{12} \times \frac{3}{10} = \frac{85 \times 3}{12 \times 10} = \frac{255}{120} = \frac{17}{8}$$

结果一样。但古人不是通过"颠倒相乘"来想这个问题的，而是通过"统一分数单位"来想——把 $\frac{85}{12}$ 想成"85 个十二分之一"，把 $\frac{10}{3}$ 想成"40 个十二分之一"，那除法就是 85 ÷ 40 = $\frac{85}{40}$。

这个视角，比"颠倒相乘"更直接、更本质。

4. 为什么答案里的 $\frac{255}{120}$ 要化简成 $\frac{17}{8}$？

255 和 120，它们的最大公约数是多少？是 15。255 ÷ 15 = 17，120 ÷ 15 = 8。

等等——15 怎么来的？255 和 120 的最大公约数是 15。

$$\frac{255}{120} = \frac{255 \div 15}{120 \div 15} = \frac{17}{8}$$

这就在不知不觉中又用到了方田章第十四讲的约分术（更相减损术）！《九章》的编排顺序是有讲究的——先学约分（十四、十五讲），再学加法（十六、十七讲），再学减法（十八、十九讲）、大小比较（二十、二十一讲）、平均数（二十二、二十三讲），然后再教除法（二十四、二十五讲）。每次新运算的结果都可能用到之前学过的约分。古人编教材时，已经有了"螺旋上升"的意识。

5. 中西方对比：分数除法的两大流派

很有意思的是，在世界数学史上，分数除法走过两条不同的路：

东方路线（中国为代表）：通分法。 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$ → 通分成 $\frac{ad}{bd} \div \frac{bc}{bd}$ → 分子相除得 $\frac{ad}{bc}$。本质上是在做"单位统一后的数量相除"。

西方路线（阿拉伯-欧洲为代表）：颠倒相乘。 13 世纪意大利数学家斐波那契在《计算之书》中正式提出"除以一个数等于乘以它的倒数"。16 世纪欧洲普遍接受这个方法。

两条路线殊途同归，最终结果都是 $\frac{ad}{bc}$。前者从"统一单位"入手，后者从"乘法逆运算"入手——思维方式不同，但数学本质相同。 这不正是我们常说的"条条大路通罗马"吗？

高中课本关联

"重有分"的思想在高中的延续

高中数学中的分式运算，本质上也是"重有分者同而通之"：

$$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{x-y}{xy}} = \frac{x+y}{x-y}$$

看，分子分母分别通分后，分子分母的分数单位统一（都是 $\frac{1}{xy}$），直接约掉——这不就是"同而通之"吗？

分式方程的去分母

解分式方程时，我们做的第一步是"去分母"——把方程两边乘以分母的最小公倍数。这个操作的思想源头，和经分术的"同而通之"如出一辙。

分式不等式的处理也一样。整个中学代数里，当你拿着一个分数套分数的表达式时，你的第一反应——"统一分母"——两千年前《九章算术》的经分术已经替你做好了思想准备。

分数除法高中还会考吗？

到了高中，分数除法本身不再是教学重点，但它的算理无处不在：

• 向量中"除以"一个向量不存在，但"乘以逆向量"存在
• 矩阵中"除以"一个矩阵不存在，但"乘以逆矩阵"存在
• 三角恒等式中"除以 $\sin x$"本质上就是"乘以 $\csc x$"

所有这些，都指向同一个核心：除法不改变运算的本质，它只是乘法的另一种形式。

思考与拓展

1. 用经分术（通分法）计算 $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5}$ 和 $\frac{7}{8} \div \frac{3}{4}$，并验证是否与"颠倒相乘"结果一致。你能用自己的话解释：为什么这两种方法等价？

2. 这题里总钱数是 $6\frac{1}{3} + \frac{3}{4}$，而不是直接给一个总钱数。你觉得古人为什么要设计成"两笔钱"？这和生活中的什么场景类似？

3. 如果 $3\frac{1}{3}$ 人分 $2\frac{1}{8}$ 钱（恰好反过来，人数和钱数都变成上一题的结果），每人分多少钱？计算完后，你发现了什么规律？

一句话总结

"重有分者同而通之"——当分数套分数时，统一分数单位后再相除，这和今天"除以一个分数等于乘以它的倒数"是同一个道理，但比"颠倒"讲得更明白。