平分术：三个分数找平均——古人也会求均值

原文

今有三分之一，三分之二，四分之三。问减多益少，各几何而平？

答曰：减三分之二者一，四分之三者六分之五，益三分之一者四分三之一，而各平于三十六分之二十三。

平分术曰：各置其数，以母互乘子，以少减多，余以为实。各取分母相乘，所得为法。实如法而一，得平。以平数减多者，亦加少者，各得多少之数。

白话翻译

现在有三个分数：$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$。问：从大的分数中减去多少，补到小的分数上，才能使它们相等？

但这里有一个著名的"笔误"——按现代数学计算，三个数的平均数是 $\frac{7}{12}$（即 $\frac{21}{36}$），而不是原文中写的 $\frac{23}{36}$。这个问题我们在后面细说。先看算法本身。

平分术的思路是：先把每个分数按通分处理，用大的减小的，差作为"实"（分子）。各分母相乘得到"法"（分母）。用实除以法，得到平均数。再用平均数减大的数、加小的数，得到各数需要增减多少。

示意图

数学解读

1. 什么叫"减多益少，各几何而平"？

这句话翻译成大白话就是："把多的减掉一些，补给少的，让它们都一样。"

这就是今天求平均数的操作化定义。我们现代人求平均数，直接公式一套：$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} + \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$，除以 3 得 $\frac{7}{12}$。但古人说的"减多益少"更接近平均数的本质——平均不是靠公式算出来的，而是靠"匀"出来的。

想象三个人的钱不一样多，你让他们把钱都掏出来堆在一起，然后每人再分等份——这就是"减多益少"。先"归堆"（求和），再"平分"（除以人数）。这个"归堆再平分"的思维，比"套公式"更直观。

2. 平分术的具体计算

先说通分。

三个分数 $\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$，分母分别为 3、3、4。最小公倍数是 12，通分后：

但《九章》用的分母是 36（3 × 3 × 4），所以通分后是：

然后求和：$12 + 24 + 27 = 63$，除以 3 得 $21$。所以平均数分子是 21，分母是 36：

到这里，按现代数学计算，结果应该是 $\frac{21}{36} = \frac{7}{12}$。

但《九章》的原文说"各平于三十六分之二十三"——也就是 $\frac{23}{36}$。这里有一个著名的"笔误"。

事实上，$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} + \frac{8}{12} + \frac{9}{12} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4}$，除以 3 得 $\frac{7}{12} = \frac{21}{36}$。

$\frac{23}{36}$ 怎么来的？很可能是传抄过程中数字写错了。$\frac{21}{36} \rightarrow \frac{23}{36}$，只差了一个数字变化（21 → 23）。这种"抄错"在古代数学文献中并不罕见。

现代读者不必纠结于这个答案本身——记住平分术的方法，比记住 23/36 这个数字更重要。

3. 平分术的现代公式

如果用现代数学语言表达平分术：

设三个分数为 $\frac{a}{b}$、$\frac{c}{d}$、$\frac{e}{f}$，其中 $\frac{a}{b} \le \frac{c}{d} \le \frac{e}{f}$。

第一步：通分。分母取 $bdf$。

第二步：大的减小的，求差。

第三步：总差额除以份数，得到"平"（平均增加值）。

这个 $\frac{(cbf - adf) + (ebd - adf)}{3 \cdot bdf}$ 展开后，就是 $\frac{adf + cbf + ebd}{3bdf} - \frac{adf}{bdf}$——也就是平均数减去最小值。

所以最小值 $\frac{adf}{bdf}$ 加上"平"，就等于平均数。

4. 平均数概念的古今演变

"减多益少"这个说法，比"平均值"这个词更接地气，也更接近数学本质。

现代统计学中，算数平均数被定义为"总和除以个数"。但在人类历史上，平均数这个概念最早出现在实际生活中——"事情一碗水端平"的"端平"，就是平分术的核心思想。 古人面对着田地的分配、粮食的均分、赋税的公平摊派，自然就会想到"减多益少"这个操作。

有意思的是，欧洲中世纪也出现了类似的概念。意大利数学家帕乔利（Luca Pacioli，1445–1517）在《算术大全》中给出了类似的"平分"方法。但《九章算术》的平分术至少比帕乔利早了 1400 年。

5. 题目的三个分数选择很巧妙

$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$——这三个分数的选择不是随机的。注意它们的分母：3、3、4，通分需要 12 或 36。而三个分数的分子分别是 1、2、3，正好是三个连续自然数。

这种"递增"的排列，让"减多益少"的操作非常清晰：最小的 $\frac{1}{3}$ 需要补，最大的 $\frac{3}{4}$ 需要减，中间的 $\frac{2}{3}$ 也需要减一点。

而且，$\frac{1}{3} \approx 0.333$，$\frac{2}{3} \approx 0.667$，$\frac{3}{4} = 0.75$，三个数分散在 0.33 到 0.75 之间，跨度不大不小，正好适合演示"平分"的过程。如果选 $\frac{1}{100}$ 和 $\frac{99}{100}$，差距太大，平分就失去了"端平"的微妙感。

高中课本关联

加权平均数的思想

高中阶段会学到加权平均数。比如：期中考试成绩占 40%，期末考试成绩占 60%，求最终成绩。这就是一个加权平均问题。

而《九章算术》的平分术，实际上是等权平均数的特例。如果三个分数的重要性不同（比如有不同权重），就需要在"减多益少"时考虑到权重——多减一分重的，少减一分轻的。这个思路直接通向加权平均。

不等式与极值问题

平分术的核心是"让多个数相等"。在高中数学中，我们常常遇到"求某个表达式的最小值"的问题，而很多最值问题都隐含着"变量相等时取极值"的原理。

比如：已知 $a + b = 10$，求 $ab$ 的最大值。当 $a = b = 5$ 时，$ab$ 取最大值 25。这不就是"减多益少"的另一种形式吗？两个数的和固定，相差越大，乘积越小；相差越小，乘积越大。让它们相等，就是"平"的状态。

数列的"中项"概念

在等差数列中，任意项的算术平均数等于中间项。比如 $a, b, c$ 成等差数列，则 $b = \frac{a + c}{2}$。这个"中间项"性质，其实就是"两个数均分"的情况——不过是把"减多益少"应用于两个数的情况。三个以上的数，就变成了"减多益少"的推广。

思考与拓展

1. 用平分术计算 $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$ 的平均数。通分后的分母是多少？平均数是几分之几？

2. 如果三个数的权重不同，分别是 2:1:1，那么"减多益少"应该怎么调整？试算 $\frac{1}{3}$（权重2）、$\frac{2}{3}$（权重1）、$\frac{3}{4}$（权重1）的加权平均值。

3. 欧洲中世纪也有类似"平分"的概念，但通常用于商业（几个人合伙做生意，如何公平分配利润）。你能想到现实生活中的"平分"问题吗？比如排班、分奖金、分摊水电费？

一句话总结

平分术的核心是"减多益少"——把多的匀给少的，直到大家都一样，这就是平均值最朴素、最本质的定义，比后来"总和除以个数"的公式更贴近数学直觉。