经分术：分数除法——七个人分八又三分之一钱，每人得多少

原文

今有七人，分八钱三分钱之一。问人得几何？

答曰：人得一钱二十一分钱之四。

经分术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。

白话翻译

现在有 7 个人，要分 8⅓ 钱（八钱又三分之一钱）。问每个人分得多少钱？

这道题的答案是：每人分得 $1\frac{4}{21}$ 钱。

所谓"经分术"，就是分数除法的算法。"经分"二字，"经"有"度量、分割"之意——把一份东西经手分给多人。《九章》给出的算法是：以人数作为除数（法），以钱数作为被除数（实），二者相除。如果遇到分数，先通分；如果有多层的分数，统一通分后再除。

示意图

数学解读

1. 把"分钱"翻译成数学

题目本身很简单：7 个人分 8⅓ 钱，求每人得多少。

用今天的数学语言写出来就是：

但在《九章》的时代，没有"除以"这个运算符号，更没有分数除法法则。古人的思维是：你把一笔钱平均分给若干人，就是要知道每人分得多少——这是"平均分"在生活中的原型。

2. 古人的算法：通分成同分母

"经分术"说："以人数为法，钱数为实，实如法而一。"

翻译过来：把人数作为除数（法），把总钱数作为被除数（实），用被除数除以除数。如果遇到分数，就先通分。

具体到这道题，古人的步骤大概是这样的：

第一步：把带分数化为假分数。

第二步：除以 7，相当于求 $\frac{25}{3} \div 7$。

在《九章》的算法框架下，除数和被除数要统一分母——把 7 也写成 $\frac{7}{1}$，然后通分：

"有分者通之"——两者通分到分母 3：

第三步：分子相除。

这个"通分后分子相除"的操作，本质上和现代的"除以一个数等于乘以它的倒数"是等价的：

但古人走了一条不同的路——他们没有"倒数"的概念，而是通过"通分"把问题转化成整数除法。 这个思路虽然绕了一点，但数学上完全正确。

3. 为什么叫"经分"？

"经分"这个词，字面意思是"把东西分成几份"。"经"有"经过、度量"的意思——古人量布用"经线"（织布的纵线），引申为"度量、丈量"。

从这个名字就能看出，《九章》把"分数除法"理解为一个度量过程：你有一块布（被除数），量出每人该分多长（除数），看看能量几次、余多少——这和"勾股"、"方田"等直接以图形命名的章节不同，"经分"命名关注的是操作本身。

有意思的是，西方数学中，分数除法也走过类似的路。15 世纪的欧洲数学家也曾用"通分法"处理分数除法，直到 16 世纪才有了"翻转相乘"的简洁表述。中国人在公元 1 世纪就想到了通分再除的方法，比西方早了近 1500 年。

4. 一个有意思的验证

我们来验证一下答案：每人得 $\frac{25}{21}$ 钱（即 $1\frac{4}{21}$ 钱），7 个人总共得：

恰好是原来的 8⅓ 钱，完美！

而 $\frac{25}{21}$ 钱是什么概念呢？它比 1 钱多 $\frac{4}{21}$ 钱（约 0.19 钱）。如果用现代单位换算，秦汉时期的 1 钱大约相当于现在的 0.5 克铜钱（按质量算，购买力估算不同），每人分到的约合 1.19 钱。但这不重要——重要的是这个分数本身在数学上的意义。

5. 经分术的通用形式

"经分术"可以应用于三种场景：

场景一：分数除以整数。

这道题就属于这种。

场景二：分数除以分数。

"重有分者同而通之"——意思是如果除数和被除数都有分数，就统一通分。

这正是现代分数除法的"颠倒相乘"公式。

场景三：分数除以带分数。

先化带分数为假分数，再按场景二处理。

这三个场景覆盖了分数除法的全部情况。在《九章》那个没有符号代数的时代，能用文字描述出这样一套通用算法，实在令人叹服。

6. 从"通分法"到"颠倒相乘"——谁的思维更本质？

今天的数学课上，老师教分数除法几乎统一用"除以一个数等于乘以它的倒数"。这个口诀好记、好用，但学生经常不知道为什么——"为什么除法变成了乘法？为什么分子分母要颠倒过来？"

《九章》的"经分术"给了我们另一个视角：分数除法的本质是通分后分子相除。 通分是加减法也用到的操作，用已知解释未知——这比凭空引入"倒数"概念更自然。

如果你在教学生分数除法时，先让 TA 用"通分法"算几道题，再推导出"颠倒相乘"，效果可能会好得多。数学的简洁形式（颠倒相乘）背后往往有更朴素的本质（通分后整数除法），教本质还是教技巧，往往是好老师和平庸老师的分水岭。

高中课本关联

分数除法的算理基础

高中阶段，分数除法看起来已经是一个"理所当然"的基本运算，不会专门讲解。但它的算理——"除以一个数等价于乘以这个数的倒数"——在更高级的数学中反复出现：

• 在向量中，没有除法，但有"逆向量"
• 在矩阵中，没有除法，但有"逆矩阵"
• 在复数中，除法定义为乘以共轭复数再除以模长的平方

这些看似独立的概念，本质都是把除法转化为乘法——和《九章》的"经分术"用的是同一个哲学。

分式运算的基础

高中代数中的分式加减、分式方程，本质上都是"通分法"的延续。

这和《九章》的"合分术"（母互乘子，相加为实，分母相乘为法）完全一致。而分式方程的"去分母"操作，就是把"经分术"中"通分后分子相除"的推广。《九章》的分数四则运算，实际上为整个中学代数的分式运算奠定了基础。

思考与拓展

1. 用"经分术"（通分法）计算 $\frac{3}{4} \div \frac{2}{3}$，然后验证结果是否等于 $\frac{3}{4} \times \frac{3}{2}$。你能用文字说明为什么"颠倒相乘"成立吗？

2. 如果 8⅓ 钱分给 7 个人，每人得 $1\frac{4}{21}$ 钱。反过来的问题：如果每人得 $1\frac{4}{21}$ 钱，7 个人总共多少钱？用乘法验证。《九章》有没有对应的"反算"算法？

3. 思考：为什么古人不用"倒数"的概念？用"通分法"处理分数除法，和用"颠倒相乘"相比，各有什么优缺点？如果你是公元 1 世纪的数学家，你会选择哪种方法教给学生？

一句话总结

"经分术"用通分把分数除法转化为整数除法——本质上就是现代"颠倒相乘"的另一种表述，但比"颠倒"更讲道理、更接近本质。