大广田术：带分数乘法法则——当长宽都是零头数

原文

今有田广三步三分步之一，从五步五分步之二。问为田几何？

答曰：十八步。

大广田术曰：分母各乘其全，分子从之，相乘为实。分母相乘为法，实如法而一。

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白话翻译

一块长方形田地，宽是 $3\frac{1}{3}$ 步（三又三分之一步），长是 $5\frac{2}{5}$ 步（五又五分之二步）。问这块田的面积是多少？

答：十八平方步。

大广田术的方法是：分母分别乘以对应的整数部分，再加上各自的分子，得到假分数；把两个假分数的分子相乘作为"实"（被除数），分母相乘作为"法"（除数）；用实除以法，得到结果。

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示意图

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数学解读

一、现代解法完整过程

题目要求的是长方形的面积，即宽与长的乘积：

$\text{面积} = 3\frac{1}{3} \times 5\frac{2}{5}$

第一步：将带分数化为假分数

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \times 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

$5\frac{2}{5} = \frac{5 \times 5 + 2}{5} = \frac{27}{5}$

第二步：分子相乘作分子，分母相乘作分母

$\frac{10}{3} \times \frac{27}{5} = \frac{10 \times 27}{3 \times 5} = \frac{270}{15}$

第三步：约分或直除

$\frac{270}{15} = 18$

所以这块田的面积是 18 平方步。

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二、古术逐句解释

"大广田术"是《九章算术》方田章中专门处理带分数相乘的方法。"大"在这里有"广"的意思，"大广"即"广而大之"，指长宽都带有零头（分数部分）的情形。

第一句："分母各乘其全，分子从之"

"全"指整数部分，"分子从之"指把分子加上去。这句话说的是把带分数化为假分数：

• 对于 $3\frac{1}{3}$：分母 $3$ 乘以整数 $3$，再加上分子 $1$，得 $10$，所以是 $\frac{10}{3}$
• 对于 $5\frac{2}{5}$：分母 $5$ 乘以整数 $5$，再加上分子 $2$，得 $27$，所以是 $\frac{27}{5}$

这正是我们今天所说的"整数乘分母加分子"法则。

第二句："相乘为实"

把两个假分数的分子相乘：$10 \times 27 = 270$，这个积叫做"实"（被除数）。

第三句："分母相乘为法"

把两个假分数的分母相乘：$3 \times 5 = 15$，这个积叫做"法"（除数）。

第四句："实如法而一"

"实如法而一"是《九章算术》的固定用语，意思是"实除以法"：

$\frac{\text{实}}{\text{法}} = \frac{270}{15} = 18$

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三、古今对照验证

步骤	古代表述	现代数学语言
化假分数	分母各乘其全，分子从之	$a\frac{b}{c} = \frac{ac+b}{c}$
分子相乘	相乘为实	分子之积作分子
分母相乘	分母相乘为法	分母之积作分母
求商	实如法而一	$\frac{\text{实}}{\text{法}}$

代入本题数据验证：

$\frac{10}{3} \times \frac{27}{5} = \frac{270}{15} = 18 \text{（平方步）}$

古今算法完全一致，结果均为 18 平方步。

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四、为什么叫"大广田术"？

方田章中有多道涉及带分数的面积题，古人根据数据特点分别命名：

• 当一边是整数、另一边是带分数时，用"广田术"
• 当两边都是带分数时，用"大广田术"

"大"字强调两边都有零头，情形更复杂，需要更完整的法则。这种命名方式体现了古人对问题类型的精细区分。

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五、中西比较

《九章算术》成书于公元一世纪左右，其中大广田术已经给出了完整的带分数乘法法则。

对比西方：古希腊数学家尼科马库斯（Nicomachus，约公元 100 年）在《算术入门》中也讨论过分数运算，但处理方式较为繁琐，没有形成如此简洁的算法程序。欧洲直到 15-16 世纪，随着商业算术的发展，带分数的系统运算才逐渐普及。

中国古算的特点是算法的程序化——"术"就是一套可以按步操作的程序，任何类似题型都可以套用。这种"算法化"思想是中国数学的重要特征。

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高中课本关联

知识点：有理数的运算、分式的乘法

本题直接对应高中数学人教 A 版必修第一册中"有理数指数幂"以及选择性必修中"四则运算"的基础内容。虽然高中课本以整式运算为主，但带分数化假分数的基本功贯穿始终。

高考考法：

1. 算法题：高考数学有"算法初步"相关题目，常以《九章算术》等古代数学问题为背景，考查程序框图或算法语句的理解。大广田术的"分母乘全，分子从之"就是一个典型的算法步骤。

2. 数学文化题：近年高考注重数学文化渗透，常以古文数学题为素材，要求学生理解题意并求解。本题的"实如法而一"就是需要翻译的古代术语。

3. 基础运算能力：带分数与假分数的互化、分数的乘除运算，是高中数学的基本功，在解析几何、概率统计等模块中频繁使用。

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思考与拓展

练习 1：基础应用

一块田广 $2\frac{1}{4}$ 步，从 $4\frac{2}{3}$ 步。用大广田术求面积。

提示：$\frac{9}{4} \times \frac{14}{3} = \frac{126}{12} = \frac{21}{2} = 10\frac{1}{2}$（平方步）

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练习 2：逆向思考

若一块田面积为 $12$ 平方步，广为 $3\frac{1}{3}$ 步，求从。

提示：$12 \div \frac{10}{3} = 12 \times \frac{3}{10} = \frac{36}{10} = 3\frac{3}{5}$（步）

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练习 3：算法理解

大广田术中"实如法而一"的"一"是什么意思？为什么不说"实如法"而说"实如法而一"？

提示："一"指"得到一个商"，"而"是连词，"实如法而一"即"以法除实，得一结果"。这是古代算书中固定的除法用语。

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一句话总结

大广田术给出了世界上最早的带分数乘法系统法则——"分母乘全，分子从之"化假分数，再"实如法而一"求商，算法程序化、可操作，沿用近两千年。