乘分术二：分数乘法中的先约后算——古人的简算智慧

原文

又有田广九分步之七，从十一分步之九。问为田几何？

答曰：十一分步之七。

乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

白话翻译

又有一块田地，宽是 $\dfrac{7}{9}$ 步，长是 $\dfrac{9}{11}$ 步。问这块田的面积是多少？

答：面积为 $\dfrac{7}{11}$ 平方步。

分数乘法法则：分母相乘作为除数，分子相乘作为被除数，用除数去除被除数。

示意图

数学解读

一、现代解法完整过程

本题求长方形面积，用宽乘长：

$\frac{7}{9} \times \frac{9}{11}$

观察分子分母，发现 $9$ 同时出现在第一个分数的分母和第二个分数的分子中，可以先行约去：

$\frac{7}{\cancel{9}} \times \frac{\cancel{9}}{11} = \frac{7 \times 1}{1 \times 11} = \frac{7}{11}$

所以面积为 $\dfrac{7}{11}$ 平方步。

如果按照"母相乘为法，子相乘为实"的机械流程：

$\frac{7}{9} \times \frac{9}{11} = \frac{7 \times 9}{9 \times 11} = \frac{63}{99}$

再约分：$\dfrac{63}{99} = \dfrac{63 \div 9}{99 \div 9} = \dfrac{7}{11}$。

两种方法结果一致，但先约分明显更简洁。

二、古术逐句解释

母相乘为法：两个分数的分母相乘，得到"法"（即除数）。本题中 $9 \times 11 = 99$ 为法。

子相乘为实：两个分数的分子相乘，得到"实"（即被除数）。本题中 $7 \times 9 = 63$ 为实。

实如法而一：用实除以法，即 $\dfrac{63}{99}$，得到带分数或整数结果。

这里"如"是"以"的意思，"实如法而一"就是"以法除实"。

三、古今对照验证

步骤	古代方法	现代方法
列式	以九分步之七乘十一分步之九	$\dfrac{7}{9} \times \dfrac{9}{11}$
母相乘为法	$9 \times 11 = 99$	分母相乘得 $99$
子相乘为实	$7 \times 9 = 63$	分子相乘得 $63$
实如法而一	$63 \div 99 = \dfrac{63}{99}$	$\dfrac{63}{99}$
约分	约去公因数 $9$，得 $\dfrac{7}{11}$	$\dfrac{63 \div 9}{99 \div 9} = \dfrac{7}{11}$

最终答案完全一致：十一分步之七（$\dfrac{7}{11}$ 平方步）。

四、本题的特殊之处

本题的巧妙之处在于：两个分数 $\dfrac{7}{9}$ 和 $\dfrac{9}{11}$ 中，$9$ 恰好是公因数。古人虽然给出了"母相乘、子相乘"的通用法则，但在实际计算中，显然会先观察能否约分。

这体现了中国古代数学的一个核心思想——以简驭繁。术文给出的是通用程序，但实际操作中强调灵活变通。刘徽在注文中也多次强调"先约后乘"的简化思路。

五、中西比较

分数乘法法则在世界各文明中独立发展：

• 古埃及（约公元前1650年，莱因德纸草书）：分数乘法依赖单位分数的加倍表，过程繁琐。
• 古巴比伦（约公元前1800年）：使用六十进制的分数乘法表。
• 古中国（约公元前2世纪，《九章算术》）：给出"母相乘为法，子相乘为实"的通用法则，简洁普适。
• 古印度（约公元5世纪，阿耶波多）：也有类似的分数乘法法则。
• 中世纪欧洲：通过阿拉伯数学传入，最终形成现代分数运算体系。

中国分数四则运算的成熟比欧洲早约一千年，且法则表述与现代几乎一致。

高中课本关联

知识点：人教版高中数学选择性必修第三册（原必修内容）——基本不等式、数列；但本题更直接关联的是初中分式运算，是高中复杂分式化简的基础。

高考考法：

1. 数学文化题：以《九章算术》原文为素材，考查分数运算或阅读理解能力。
2. 运算能力：复杂分式的化简求值，强调先因式分解、再约分的思想，与本题"先约后乘"一脉相承。
3. 类比迁移：将分数乘法法则迁移到多项式乘法、矩阵运算等情境。

核心素养：数学运算、逻辑推理、数学文化认同。

思考与拓展

练习一（基础） 用乘分术计算：田广 $\dfrac{5}{8}$ 步，从 $\dfrac{6}{15}$ 步，问为田几何？

提示：先观察分子分母是否有公因数可约。

练习二（进阶） 《九章算术》中又有题：田广 $\dfrac{3}{7}$ 步，从 $\dfrac{14}{15}$ 步。请分别用"先乘后约"和"先约后乘"两种方法计算面积，比较哪种更简便。

练习三（拓展） 乘分术"母相乘为法，子相乘为实"对三个分数相乘是否适用？试计算 $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5}$，并总结规律。

提示：观察连续分数相乘时"连锁约分"的现象。

一句话总结

乘分术给出分数乘法的通用法则，而本题的精髓在于：先观察、后计算，能约则约——这正是古今数学共同追求的简洁之美。