乘分术：分数乘法的几何源头——矩形面积怎么算？

原文

今有田广七分步之四，从五分步之三。问为田几何？

答曰：三十五分步之十二。

乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

白话翻译

现在有一块田，宽是 $\frac{4}{7}$ 步（七分步之四），长是 $\frac{3}{5}$ 步（五分步之三）。问这块田的面积是多少？

答：$\frac{12}{35}$ 平方步（三十五分步之十二）。

注意这道题在方田章中的位置——方田章讲的都是田地面积计算。前面学过矩形面积 = 宽 × 长，但之前的长宽都是整数。这一讲，长宽第一次同时变成了分数。

古人给出的法则非常简洁：分母相乘得到"法"（除数），分子相乘得到"实"（被除数），实除以法就是答案。

示意图

数学解读

1. 这道题的"第一"：分数乘法的正式登场

方田章从第一讲开始，就在算各种田地的面积——方田（长方形）、圭田（三角形）、圆田（圆形）……但前面所有题目的边长都是整数。这是方田章里第一次出现边长是分数的矩形面积问题。

你可能想：这有什么难的？不就是 $\frac{4}{7} \times \frac{3}{5}$ 吗？

但请回到公元一世纪的语境——那时候没有"分数乘法"这个现成的公式，一切要从土地丈量的实际需要出发。一个农民拿着一把步弓量地，量出来宽是"七分步之四"，长是"五分步之三"，他怎么知道这块地合多少平方步？这就是《九章算术》要解决的真实问题。

2. 古术逐句解释：十二个字说清分数乘法

乘分术的原文只有三句话、十二个字，但每一句都有精确的含义：

"母相乘为法"——两个分数的分母相乘，得到"法"。

$\text{法} = 7 \times 5 = 35$

"法"在古算里就是除数、分母。35 就是新的分母。

"子相乘为实"——两个分数的分子相乘，得到"实"。

$\text{实} = 4 \times 3 = 12$

"实"在古算里就是被除数、分子。12 就是新的分子。

"实如法而一"——实除以法，得到答案。

$\frac{\text{实}}{\text{法}} = \frac{12}{35}$

把这三步连起来，就是：

$\frac{4}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{4 \times 3}{7 \times 5} = \frac{12}{35}$

这正是现代分数乘法法则 $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ 的最早完整表述。

3. 几何直观：为什么分母要相乘？

古人推导这个法则时，脑子里想的是田地。让我们也用面积来理解：

想象一块 1 步 × 1 步的"标准方格田"（面积 = 1 平方步）。

• 宽取 $\frac{4}{7}$，就是把 1 步的宽度平均分成 7 份，取其中 4 份。
• 长取 $\frac{3}{5}$，就是把 1 步的长度平均分成 5 份，取其中 3 份。

现在把这两个操作叠加起来：先把标准方格田横向分成 7 份、纵向分成 5 份，整个田就被分成了 $7 \times 5 = 35$ 个小格子。每个小格子的面积是 $\frac{1}{35}$ 平方步。

我们取的是横向 4 份、纵向 3 份的交叉区域，一共 $4 \times 3 = 12$ 个小格子。

所以面积 = $12 \times \frac{1}{35} = \frac{12}{35}$ 平方步。

分母相乘（7×5=35），是因为把两个方向的分割叠加后，总共分成了 35 份。分子相乘（4×3=12），是因为我们取了其中的 12 份。 这就是分数乘法的几何本质。

4. 古今对照验证

现代算法：

$\frac{4}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{4 \times 3}{7 \times 5} = \frac{12}{35}$

古代算法：

$\text{法} = 7 \times 5 = 35, \quad \text{实} = 4 \times 3 = 12, \quad \frac{\text{实}}{\text{法}} = \frac{12}{35}$

结果完全一致。 而且 $\frac{12}{35}$ 已经是最简分数（12 和 35 的最大公约数是 1），不需要再约分。

5. 中西对比：谁最先说出分数乘法法则？

《九章算术》的成书年代，学界一般认为在西汉初期（约公元前 2 世纪至公元 1 世纪）。乘分术的表述，是目前已知世界上最早的分数乘法法则的完整文字记录。

对比其他古文明：

• 古埃及（约公元前 1650 年，《莱因德纸草书》）：埃及人擅长分数运算，但他们只用单位分数（分子为 1 的分数），没有给出一般的分数乘法法则。
• 古巴比伦（约公元前 1800 年）：巴比伦人用六十进制分数，有大量乘法表，但也没有留下"分数乘法法则"的文字表述。
• 古印度：印度数学家在公元 5 世纪后才有系统的分数运算记载，比《九章》晚了好几百年。

中国数学的特点在这里体现得非常明显：算法化、程序化。 乘分术不是告诉你"怎么想"，而是告诉你"怎么做"——母相乘、子相乘、实如法而一。三句话，任何人照着算都能得到正确答案。这种"算法优先"的传统，是中国数学对世界数学的重要贡献。

高中课本关联

从分数乘法到多项式乘法

高中数学中，分数乘法法则会被推广到更一般的情形：

分式乘法：

$\frac{x+1}{x-2} \cdot \frac{x-3}{x+4} = \frac{(x+1)(x-3)}{(x-2)(x+4)}$

法则一模一样——"分子相乘、分母相乘"。

独立事件的概率：

如果事件 A 发生的概率是 $\frac{4}{7}$，事件 B 发生的概率是 $\frac{3}{5}$，且 A、B 独立，则 A、B 同时发生的概率是：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{35}$

高考考法： 分数乘法本身不会单独出大题，但它会嵌入到概率统计、导数求导法则的推导、定积分的计算中。比如求 $\int \frac{1}{x^2} dx$ 时，本质上就是在做幂函数的"乘法"运算。

一个值得注意的细节

这道题的答案 $\frac{12}{35}$ 平方步，不满 1 亩（1 亩 = 240 平方步）。所以古人直接以平方步作答，不换算成亩。这反映了《九章》的务实精神——用什么单位方便，就用什么单位。 这种"单位意识"在高中物理和化学中同样重要。

思考与拓展

1. 用乘分术计算 $\frac{2}{5} \times \frac{3}{8}$ 和 $\frac{5}{6} \times \frac{4}{15}$。第二题的结果能约分吗？约分后是多少？

2. 如果一块田宽 $\frac{3}{4}$ 步，面积是 $\frac{6}{35}$ 平方步，那么田的长是多少步？请用乘分术的逆运算（即分数除法）来求解。

3. 古人说"母相乘为法，子相乘为实"。如果两个分数中有一个是整数（比如 $3 \times \frac{2}{5}$），这个法则还适用吗？如果适用，整数应该看作分母是几的分数？

一句话总结

"母相乘为法，子相乘为实"——这十二个字就是分数乘法法则 $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ 的最早完整表述，来自两千年前丈量土地的实际需要，至今仍是全世界中小学数学的必修内容。