乘分术三：当分子遇见分母——约分让计算更轻盈

原文

又有田广五分步之四，从九分步之五。问为田几何？

答曰：九分步之四。

乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。

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白话翻译

又有一块田地，宽是 $\frac{4}{5}$ 步，长是 $\frac{5}{9}$ 步。问这块田的面积是多少？

答：$\frac{4}{9}$ 平方步。

乘分术的方法是：分母相乘作为除数（法），分子相乘作为被除数（实），用除数去除被除数得到结果。

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示意图

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数学解读

一、现代解法：完整过程

设田的面积为 $S$，则：

$S = \frac{4}{5} \times \frac{5}{9}$

第一步：分子分母分别相乘

$S = \frac{4 \times 5}{5 \times 9} = \frac{20}{45}$

第二步：约分

观察 $\frac{20}{45}$，分子分母有公因数 5：

$S = \frac{20 \div 5}{45 \div 5} = \frac{4}{9}$

第三步：先约后乘（更简洁的算法）

其实我们可以在相乘之前就发现：第一个分数的分母 5 与第二个分数的分子 5 可以约去：

$S = \frac{4}{\cancel{5}} \times \frac{\cancel{5}}{9} = \frac{4}{9}$

这样一步到位，省去了先算 $\frac{20}{45}$ 再约分的麻烦。

二、古术逐句解释

"母相乘为法"

两个分数的分母相乘，得到"法"（即除数）。这里：

$5 \times 9 = 45 \quad \text{（法）}$

"子相乘为实"

两个分数的分子相乘，得到"实"（即被除数）。这里：

$4 \times 5 = 20 \quad \text{（实）}$

"实如法而一"

用实除以法，得到最终结果：

$\frac{\text{实}}{\text{法}} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$

"如……而一"是古代表示除法运算的固定句式，意为"以某数去除，得到一（个结果）"。

三、古今对照验证

步骤	古法表述	现代符号	数值
母相乘为法	$5 \times 9$	$= 45$
子相乘为实	$4 \times 5$	$= 20$
实如法而一	$20 \div 45$	$= \frac{4}{9}$

古法与现代分数乘法法则完全一致：

$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

四、本题的巧妙之处

这道题的数字设计颇有深意：

• 第一个分数的分母是 5
• 第二个分数的分子是 5

这两个 5 在"母相乘为法，子相乘为实"之后，分别出现在分母和分子上，可以约去。古人通过这样的题目设置，让学习者自然地发现：约分可以在乘法之前进行。

这实际上是"交叉约分"思想的萌芽——虽然《九章算术》的乘分术没有明确说出"先约后乘"，但通过这组由浅入深的三道题（第26题 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$，第27题 $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$，第28题 $\frac{4}{5} \times \frac{5}{9}$），学习者能够逐步体会到约分的妙用。

五、中西比较：分数乘法法则的起源

《九章算术》成书于公元一世纪左右，其中方田章系统给出了分数加减乘除的完整法则。

与此同时或稍晚，古印度数学（如《阿耶波多历算书》，公元499年）也有类似的分数运算方法。而在古希腊，欧几里得的《几何原本》（约公元前300年）主要从比例论角度讨论分数，并未形成明确的"分子乘分子、分母乘分母"算法程序。

可以说，《九章算术》的分数四则运算是世界数学史上最早的完整算法体系之一，其"乘分术"与现代分数乘法法则在本质上完全一致。

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高中课本关联

知识点： 人教版高中数学必修第一册（或选择性必修）中，分数乘法虽在初中已学，但在以下情境中反复出现：

1. 指数运算：$a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{p}{q}}$ 的计算涉及分数乘法
2. 概率计算：独立事件概率相乘 $P(A) \times P(B)$ 常出现分数相乘
3. 定积分计算：被积函数为有理函数时，积分过程涉及分数运算
4. 数列求通项：构造等比数列时公比常为分数

高考考法示例： 近年高考数学常在概率统计解答题中设置分数乘法运算，如"甲获胜概率为 $\frac{2}{3}$，乙获胜概率为 $\frac{3}{5}$，两人各独立比赛一场，求甲胜且乙胜的概率"——本质上就是 $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$，需要先约后乘以简化计算。

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思考与拓展

练习一（基础）

用乘分术计算：$\frac{3}{7} \times \frac{14}{15}$

提示：先观察能否交叉约分

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练习二（变式）

若田广 $\frac{6}{7}$ 步，从 $\frac{14}{15}$ 步，用乘分术求面积，并说明如何简化计算。

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练习三（思考）

乘分术说"母相乘为法，子相乘为实"，如果三个分数相乘，如 $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$，该如何计算？结果是多少？你能从中发现什么规律？

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一句话总结

乘分术以"母相乘为法，子相乘为实"八字，概括了分数乘法的全部法则；而本题 $\frac{4}{5} \times \frac{5}{9}$ 中悄然相约的两个"5"，正是古人留给学习者的会心一笑——算法之外，更有巧思。