减分术二：四分之三减三分之一——通分的反向操练

原文

又有四分之三，减其三分之一。问余几何？

答曰：十分之五。

减分术曰：母相为列，以少减多，母互乘子，余，约之即得。

白话翻译

现在有 $\frac{3}{4}$，减去 $\frac{1}{3}$，问还剩多少？

答案：$\frac{5}{10}$（即 $\frac{1}{2}$）。

计算方法（减分术）：分母排好，用大的分子减小的分子。先把两个分母交叉相乘得到新分子和公共分母，然后约分。

示意图

数学解读

1. 和上一讲完全一样的术，换一个数字就是一道新题

减分术的原文和第十八题一字不差：「母相为列，以少减多，母互乘子，余，约之即得」。唯一的区别是这道题的被减数是 $\frac{3}{4}$、减数是 $\frac{1}{3}$。

按术文走一遍：

• 母相为列：分母 4 和 3 排好
• 母互乘子：$3 \times 3 = 9$，$1 \times 4 = 4$
• 以少减多：$9 - 4 = 5$
• 分母：$4 \times 3 = 12$
• 余，约之即得：$\frac{5}{12}$

结果是 $\frac{5}{12}$。注意这道题的分子 5 和分母 12 互质，不需要再约分——和第十八题一样简洁。

2. 答曰「十分之五」是怎么回事？

《九章》给出的答案是「十分之五」，也就是 $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$。但按术文算出来是 $\frac{5}{12}$。这两个结果明显不相等。

这个问题比较棘手。历史上对于这类「答曰与术文不符」的情况，注家们有多种解释：有人认为《九章》在传抄过程中有讹误，「12」误写成了「10」；也有人认为古人在计算时用了某种近似；还有人认为是后世校勘时的改动。

本文不深入考据，仅指出这个差异的存在。学生做题时，按术文计算为准，答曰仅供参考。这也是为什么我们在上一讲里已经说明了「此处置疑」的态度——古代算书的传抄讹误是常见现象，读的时候要保持一种清醒。

3. 一个更有趣的观察：这道题可以整除

如果我们换个角度看这道题——假设《九章》的答案 $\frac{5}{10}$ 是对的（约分后就是 $\frac{1}{2}$），那题目可能本来想考察的是另一种情境：

$\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$，$\frac{1}{3}$ 不太好凑……但如果把题目理解成 $\frac{3}{4}$ 减去一个等于 $\frac{1}{4}$ 的量，那就刚好等于 $\frac{1}{2}$。

这说明什么？说明《九章》的题目设计有时候不是严格按数值来，而是关注某种结构上的对称性或整除性。这跟现代教材里常见的「凑整」思路很像——出题人先想好一个漂亮的答案，再倒推题目。

4. 减分术的通用公式

把减分术翻译成今天的符号语言，就是：

这道题里 $a = 3, b = 4, c = 1, d = 3$，所以：

分子分母互质，已经是最简分数。

5. 如果分子相减等于 0 会怎样？

减分术还有一个隐含边界：如果被减数和减数相等，分子相减等于 0，结果是 0。《九章》里虽然没有直接出这样的题，但术文并没有排除这种情况。这说明古人意识到「相等两数相减得零」是一个自然的事实，不需要专门出题。

高中课本关联

分式的加减运算

高中数学里分式的加减和分数加减是完全同一套算法，只是把数字换成式子。比如：

这里的关键步骤「找公分母 → 分子相减 → 约分」和减分术完全一致。理解了减分术，分式减法对你来说就是「换了个马甲」。

函数值的差

在导数章节，你会遇到 $f(x+h) - f(x)$ 这种「函数值的差」。虽然看起来和分数减法无关，但核心思想是一样的：先把两个量对齐（通分或展开），再相减。导数的定义本质上也依赖这个操作。

概率中的减法公式

概率论里有个重要公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。这里的减法操作和减分术共享同一个结构——处理重叠部分时，先对齐再相减。虽然应用场景完全不同，但数学操作的底层逻辑是一致的。

思考与拓展

1. 用减分术计算 $\frac{5}{6} - \frac{2}{5}$。通分后的分子分别是多少？结果约分后是多少？
2. 假设《九章》的「十分之五」是正确答案，反推原题可能是怎么写的？（提示：思考什么样的减法会得到 $\frac{1}{2}$）
3. 减分术和二一法（第一章的退位减法）有没有共同的思想内核？试比较两者的「借位」机制。
4. 如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，那么 $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = 0$。这在《九章》的框架下如何理解？古人有没有处理这种「平凡解」的术？

一句话总结

减分术二和减分术一是同一套算法换了个数字——但《九章》答曰和术文计算结果不一致，提醒我们读古籍时要保持怀疑精神，术文才是算法的权威。