函数与导数

设函数 $f(x)=2x^3-3ax^2+1$，则（ ）

A. 当 $a>1$ 时，$f(x)$ 有三个零点

B. 当 $a<0$ 时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点

C. 存在 $a,b$ 使得 $x=b$ 为 $y=f(x)$ 的对称轴

D. 存在 $a$ 使得 $(1,f(1))$ 为 $y=f(x)$ 的对称中心

设 $f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3$。

(1) 当 $b=0$ 时，若 $f'(x)\geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的最小值；

(2) 证明：曲线 $y=f(x)$ 关于某点中心对称；

(3) 若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$，求 $b$ 的取值范围。

18. $f(x)=\ln(1+x)-x+\frac{1}{2}x^2-kx^3$, $0<k<\frac{1}{3}$.

(1) 证 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有唯一极值点和唯一零点;

(2) $x_1,x_2$ 分别为极值点和零点.

(i) $g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)$, 证 $g(t)$ 在 $(0,x_1)$ 单调递减;

(ii) 比较 $2x_1$ 与 $x_2$ 大小, 并证明.

20. $f(x)$ 的定义域为 $(-1,+\infty)$, $f(0)=0$, $f'(x)=\frac{\ln(1+x)}{1+x}$. $l_1$: 过 $A(a,f(a))(a\neq0)$ 的切线.

(1) 求 $f'(x)$ 的最大值;

(2) 当 $-1<a<0$ 时, 求证: $y=f(x)$ 的图像除点 $A$ 外恒在 $l_1$ 上方;

(3) 当 $a>0$ 时, $l_2\perp l_1$ 且过点 $A$, $l_1,l_2$ 与 $x$ 轴分别交于 $x_1,x_2$. 求 $\frac{2a-x_1-x_2}{x_2-x_1}$ 的取值范围.

15. $f(x)$ 定义域 $\mathbf{R}$, 以下说法正确的有______.

(1) $\exists$ $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增, $f(x)+f(2x)=-x$;

(2) $\exists$ $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减, $f(x)+f(2x)=-x$;

(3) $\exists$ $f$ 使得 $f(x)+f(-x)=\cos x$, 且有无穷多个;

(4) $\exists$ $f$ 使得 $f(x)-f(-x)=\cos x$, 且有无穷多个.

21. $f(x)$ 定义域 $\mathbf{R}$. $M_a=\{x|f(x+a)=f(x)\}$.

(1) $f(x)=\sin x$, $\frac{\pi}{3} \in M_\pi$?;

(2) $f(x)=\begin{cases}x+2,x<0\\sqrt{x},x\geq0\end{cases}$, $M_a\neq\varnothing$, $a$ 范围;

(3) $f$ 偶函数, $x\in(0,1]$ 时 $f(x)=1-x$, $\forall a\in(0,2), M_a\subseteq M_2$. 写 $x\in(1,2)$ 解析式, 求证: $f(x)

20. 已知函数 $f(x)=ax-(\ln x)^2$.

(1) $a=1$ 时, 求 $f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程;

(2) $f(x)$ 有3个零点 $x_1,x_2,x_3$ ($x_1<x_2<x_3$).

(i) 求 $a$ 的取值范围;

(ii) 证明 $(\ln x_2-\ln x_1)\cdot\ln x_3<\frac{4\mathrm{e}}{\mathrm{e}-1}$.

15. 若 $a,b\in\mathbf{R}$, 对 $\forall x\in[-2,2]$, 均有 $(2a+b)x^2+bx-a-1\leq 0$ 恒成立, 则 $2a+b$ 的最小值为______

8. 已知 $2+\log_2 x=3+\log_3 y=5+\log_5 z$, 则 $x$, $y$, $z$ 的大小关系不可能是 ( )

A. $x>y>z$

B. $x>z>y$

C. $y>x>z$

D. $y>z>x$

19. 已知函数 $f(x)=xe^x+ax+b$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=-2x+1$.

(1) 求 $a$, $b$;

(2) 当 $x>0$ 时, $f(x+m)-f(x)>m$, 求 $m$ 的取值范围;

(3) 当 $x>0$ 时, $f(k+x)+f(k-x)>2f(k)$, 求 $k$ 的最小值。

20. 已知 $f(x)=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\sin x$。

（1）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

（2）当 $x\in\left[-\frac{1}{3},+\infty\right)$ 时，证明 $f(x)\geq 1+\frac{x}{3}$；

（3）求实数 $a$ 的最大可能值，使得 $f\left(\frac{1}{1}\right)\cdot f\left(\frac{1}{2}\right)\cdot f\left(\frac{1}{3}\right)\cdots f\left(\frac{1}{n}\ri

$f(x)$ 是定义在 $(0, +\infty)$ 上的函数，其导函数为 $f'(x)$，且满足 $0 < f(x) < f'(x)$。若 $0 < x_1 < 1 < x_2$，且 $x_1 x_2 = 1$，则下列不等式一定成立的是

A. $x_2 f(x_2) > x_1 f(x_1)$

B. $f(x_2) > f(2 - x_1)$

C. $\ln f(x_1) - \ln f(x_2) > x_1 - x_2$

D. $f(x_2) > (2 - x_1) f(x_1)$

20. 设函数 $f(x)=x^2+mx-4\mathrm{e}^{nx-1}$（$n\in\mathbf{Z}$），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(-1,f(-1))$ 处的切线方程为 $4x+\mathrm{e}^2 y+\mathrm{e}^2+8=0$。

（1）求 $m$，$n$ 的值；

（2）求 $f(x)$ 的极值点个数；

（3）求 $y=kx-1$（$k>0$）与 $f(x)$ 交点个数。

19. 已知 $a\in\mathbf{R}$，函数 $f(x)=x^2+ax+3$，$g(x)=4x+\frac{1}{x^2}$。

（1）已知 $f(1)=4$，求 $f(x)+\frac{1}{x^2}>g(x)$ 的解集；

（2）已知 $a\neq 0$，$l_1$ 是 $f(x)$ 在点 $(0,3)$ 处的切线，$l_2$ 是过点 $(0,3)$ 且垂直于 $l_1$ 的直线，$g(x)$ 与 $l_1$、$l_2$ 在第一象限内均无公共点，求 $a$ 的取值范围。

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且当 $x<0$ 时，$f(x)=2^x$。对任意 $x_0 \in \mathbf{R}$，定义集合 $D(x_0)=\{d \in \mathbf{R}|f(x_0+d)>f(x_0)\}$。

（1）若当 $x \geq 0$ 时，$f(x)=1-x$，求 $D(-1)$；

（2）若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1) \leq f(x_2)$，且 $x_1 x_2 \neq 0$，证明：$D(x_2) \subseteq D(x_1)$；

（3）设 $f(x)$ 满足：①若 $f(x_1) \leq f(x_2)$，

已知函数 $f(x) = \frac{x + 2}{e^x + a}$ 的最大值为 $1$，则 $a = (\quad)$

A. $\frac{1}{2}$ $\quad$ B. $1$ $\quad$ C. $\frac{3}{2}$ $\quad$ D. $2$