三次函数零点与对称性

【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 $x=0,x=a$ ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 $f(x)$ 在 $(-1,0),(0,a),(a,2a)$ 上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的 $a,b$ ，使得 $x=b$ 为 $f(x)$ 的对称轴，则 $f(x)=f(2b-x)$ 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的 $a$ ，使得 $(1,3-3a)$ 为 $f(x)$ 的对称中心，则 $f(x)+f(2-x)=6-6a$ ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项， $f^{′}(x)=6x^{2}-6ax=6x(x-a)$ ，由于 $a>1$ ， 故 $x\in\left(-\infty,0\right)\cup\left(a,+\infty\right)$ 时[插图] ，故 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,0\right),\left(a,+\infty\right)$ 上单调递增， $x\in(0,a)$ 时，[插图] ， $f(x)$ 单调递减， 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取到极大值，在 $x=a$ 处取到极小值， 由 $f(0)=1>0$ ， $f(a)=1-a^{3}<0$ ，则 $f(0)f(a)<0$ ， 根据零点存在定理 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上有一个零点， 又 $f(-1)=-1-3a<0$ ， $f(2a)=4a^{3}+1>0$ ，则 $f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0$ ， 则 $f(x)$ 在 $(-1,0),(a,2a)$ 上各有一个零点，于是 $a>1$ 时， $f(x)$ 有三个零点，A选项正确； B选项， $f'(x)=6x(x-a)$ ， $a<0$ 时， $x\in(a,0),f'(x)<0$ ， $f(x)$ 单调递减， $x\in(0,+\infty)$ 时[插图] ， $f(x)$ 单调递增， 此时 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的 $a,b$ ，使得 $x=b$ 为 $f(x)$ 的对称轴， 即存在这样的 $a,b$ 使得 $f(x)=f(2b-x)$ ， 即 $2x^{3}-3ax^{2}+1=2(2b-x)^{3}-3a(2b-x)^{2}+1$ ， 根据二项式定理，等式右边 $(2b-x)^{3}$ 展开式含有 $x^{3}$ 的项为 $2C_{3}^{3}(2b)^{0}(-x)^{3}=-2x^{3}$ ， 于是等式左右两边 $x^{3}$ 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的 $a,b$ ，使得 $x=b$ 为 $f(x)$ 的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 $f(1)=3-3a$ ，若存在这样的 $a$ ，使得 $(1,3-3a)$ 为 $f(x)$ 的对称中心， 则 $f(x)+f(2-x)=6-6a$ ，事实上， $f(x)+f(2-x)=2x^{3}-3ax^{2}+1+2(2-x)^{3}-3a(2-x)^{2}+1=(12-6a)x^{2}+(12a-24)x+18-12a$ ， 于是 $6-6a=(12-6a)x^{2}+(12a-24)x+18-12a$ 即 $\left\{\begin{matrix}12-6a=0 \\ 12a-24=0 \\ 18-12a=6-6a\end{matrix}\right.$ ，解得 $a=2$ ，即存在 $a=2$ 使得 $(1,f(1))$ 是 $f(x)$ 的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， $f(x)=2x^{3}-3ax^{2}+1$ ， $f'(x)=6x^{2}-6ax$ ， $f''(x)=12x-6a$ ， 由 $f''(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{a}{2}$ ，于是该三次函数的对称中心为 $\left(\dfrac{a}{2},f\left(\dfrac{a}{2}\right)\right)$ ， 由题意 $(1,f(1))$ 也是对称中心，故 $\dfrac{a}{2}=1\Leftrightarrow a=2$ ， 即存在 $a=2$ 使得 $(1,f(1))$ 是 $f(x)$ 的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1） $f(x)$ 的对称轴为 $x=b\Leftrightarrow f(x)=f(2b-x)$ （2） $f(x)$ 关于 $(a,b)$ 对称 $\Leftrightarrow f(x)+f(2a-x)=2b$ （3） 任何三次函数 $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是 $f''(x)=0$ 的解，即 $\left(-\dfrac{b}{3a},f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$ 是三次函数的对称中心