抽象函数与函数方程

$f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)$。

$x=y=0$：$f(0)=0+0=0$。A 正确。

$x=y=1$：$f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)$，$f(1)=0$。B 正确。

$y=-1$：$f(-x)=f(x)+x^2f(-1)$。$x=-1$：$f(1)=f(-1)+f(-1)$，$0=2f(-1)$，$f(-1)=0$。

故 $f(-x)=f(x)$，$f$ 为偶函数。C 正确。

$D$：$x=0$ 为极小值点。$f(0)=0$。$f$ 偶函数且 $f(0)=0$。但 $f$ 可能在 $x=0$ 处不可导或 $f(0)$ 不是极小值（$f$ 可能在 $0$ 附近取负值）。

取 $f(x)=x^2$：$f(xy)=x^2y^2$，$y^2f(x)+x^2f(y)=y^2x^2+x^2y^2=2x^2y^2\neq x^2y^2$。不满足。

取 $f(x)=cx^2$：$cxy=c(y^2x^2+x^2y^2)/...$ $f(xy)=cx^2y^2$，$y^2\cdot cx^2+x^2\cdot cy^2=2cx^2y^2\neq cx^2y^2$（$c\neq 0$）。不满足。

$f(x)=0$ 恒满足，但 $D$ 对零函数不成立（$0$ 不是极小值，是恒值）。

取 $f(x)=-x^2$：$f(xy)=-x^2y^2$，$y^2(-x^2)+x^2(-y^2)=-2x^2y^2\neq -x^2y^2$。不满足。

取 $f(x)=0$ 是唯一多项式解。非多项式解可能存在。

$D$：$f(0)=0$，$f$ 偶函数。$f(x)$ 可取正值（$f(1)=0$），需 $f(x)\geq 0$ 才使 $0$ 为极小值。但无足够信息保证。D 不一定正确。

答案

A、B、C 正确。