二次函数恒成立

【答案】 $-4$ 【分析】先设 $t=2a+b$ ，根据不等式的形式，为了消 $a$ 可以取 $x=-\dfrac{1}{2}$ ，得到 $t\ge-4$ ，验证 $t=-4$ 时， $a,b$ 是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设 $t=2a+b$ ，原题转化为求 $t$ 的最小值， 原不等式可化为对任意的 $-2\le x\le2$ ， $tx^{2}+\left(t-2a\right)x-a-1\le0$ ， 不妨代入 $x=-\dfrac{1}{2}$ ，得 $\dfrac{1}{4}t-\dfrac{1}{2}\left(t-2a\right)-a-1\le0$ ，得 $t\ge-4$ ， 当 $t=-4$ 时，原不等式可化为 $-4x^{2}+\left(-4-2a\right)x-a-1\le0$ ， 即 $-\left[2x+\left(\dfrac{1}{2}a+1\right)\right]^{2}+\dfrac{1}{4}a^{2}\le0$ ， 观察可知，当 $a=0$ 时， $-\left(2x+1\right)^{2}\le0$ 对 $-2\le x\le2$ 一定成立，当且仅当 $x=-\dfrac{1}{2}$ 取等号， 此时， $a=0,b=-4$ ，说明 $t=-4$ 时， $a,b$ 均可取到，满足题意， 故 $t=2a+b$ 的最小值为 $-4$ . 故答案为： $-4$