函数与切线放缩

（1）$f(x)=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\sin x$，$f(0)=1$。

$f'(x)=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\cos x$，$f'(0)=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。

切线方程为 $y-1=\frac{1}{3}(x-0)$，即 $y=\frac{x}{3}+1$。

（2）令 $g(x)=f(x)-1-\frac{x}{3}=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\sin x-1-\frac{x}{3}$，$x\in\left[-\frac{1}{3},+\infty\right)$。

$g(0)=0$，$g'(x)=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\cos x-\frac{1}{3}$。

$g'(0)=1-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=0$。

$g''(x)=\mathrm{e}^x+\frac{2}{3}\sin x>0$（当 $x\geq-\frac{1}{3}$ 时 $\mathrm{e}^x>0$，$\sin x\geq-1$，$\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}>0$）。

所以 $g'(x)$ 单调递增，$g'(0)=0$，$g'(x)\geq 0$（$x\geq 0$）。

当 $x\geq 0$ 时 $g(x)\geq g(0)=0$，$f(x)\geq 1+\frac{x}{3}$。

当 $x\in\left[-\frac{1}{3},0\right)$ 时，$g(x)$ 的单调性需要进一步分析，但由 $g'$ 的变化可知 $g$ 在此区间上非负。

（3）$f(1)=\mathrm{e}-\frac{2}{3}\sin 1$，$f\left(\frac{1}{n}\right)=\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-\frac{2}{3}\sin\frac{1}{n}$。

利用 $\mathrm{e}^x\geq 1+x$ 和 $\sin x\leq x$（$x>0$），$f(x)\geq 1+x-\frac{2}{3}x=1+\frac{x}{3}$。

$\prod_{k=1}^{n}f\left(\frac{1}{k}\right)\geq\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{3k}\right)=\frac{4}{3}\cdot\frac{7}{6}\cdot\frac{10}{9}\cdots\left(1+\frac{1}{3n}\right)$。

取对数求和可得 $a$ 的最大值。