指数函数单调性与参数范围

$f(x)=a^x+(1+a)^x$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增。$a\in(0,1)$。

$f'(x)=a^x\ln a+(1+a)^x\ln(1+a)>0$ 对 $x>0$。

$a\in(0,1)$：$\ln a<0$，$1+a\in(1,2)$，$\ln(1+a)>0$。

$f'(x)=(1+a)^x\ln(1+a)-|a^x\ln a|$

$x\to 0^+$：$f'(0)=\ln a+\ln(1+a)=\ln[a(1+a)]$。需 $>0$，即 $a(1+a)>1$，$a^2+a-1>0$，$a>\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx 0.618$。

$x\to+\infty$：$a^x\to 0$（$a<1$），$(1+a)^x\to+\infty$，$f'\to+\infty>0$。

但 $f'(x)$ 可能先为负再为正。需 $f'(x)>0$ 对所有 $x>0$。

$f'(x)=a^x\ln a+(1+a)^x\ln(1+a)$

$=\ln(1+a)\left[(1+a)^x-\dfrac{|\ln a|}{\ln(1+a)}\cdot a^x\right]$

$=\ln(1+a)\left[(1+a)^x-C\cdot a^x\right]$，$C=\dfrac{|\ln a|}{\ln(1+a)}=\dfrac{-\ln a}{\ln(1+a)}$。

需 $(1+a)^x>C\cdot a^x$，即 $\left(\dfrac{1+a}{a}\right)^x>C$，$\left(\dfrac{1+a}{a}\right)^x>\dfrac{-\ln a}{\ln(1+a)}$。

$\left(\dfrac{1+a}{a}\right)^x$ 在 $x>0$ 递增（因 $\dfrac{1+a}{a}>1$），最小值在 $x\to 0^+$ 为 $1$。

需 $1>C=\dfrac{-\ln a}{\ln(1+a)}$，即 $\ln(1+a)>-\ln a=\ln\dfrac{1}{a}$，$1+a>\dfrac{1}{a}$，$a(1+a)>1$，$a^2+a-1>0$，$a>\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。

答案

$a$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2},1\right)$。