对数函数切线与单调性

第(1)问

$a=-1$ 时，$f(x)=\left(\dfrac{1}{x}-1\right)\ln(1+x)=\dfrac{(1-x)\ln(1+x)}{x}$（$x>0$）。

$f(1)=\left(1-1\right)\ln 2=0$。

$f'(x)=\dfrac{\left[-\ln(1+x)+\dfrac{1-x}{1+x}\right]\cdot x-(1-x)\ln(1+x)}{x^2}$

$=\dfrac{-x\ln(1+x)+\dfrac{x(1-x)}{1+x}-(1-x)\ln(1+x)}{x^2}$

$=\dfrac{-\ln(1+x)(x+1-x)+\dfrac{x(1-x)}{1+x}}{x^2}=\dfrac{-\ln(1+x)+\dfrac{x(1-x)}{1+x}}{x^2}$

$=\dfrac{-\ln(1+x)+\dfrac{x-x^2}{1+x}}{x^2}$

$f'(1)=\dfrac{-\ln 2+0}{1}=-\ln 2$

切线方程：$y-0=-\ln 2\cdot(x-1)$，即 $y=-(\ln 2)(x-1)$。

答案

(1) 切线方程为 $y=-(\ln 2)(x-1)$。

第(2)问

$f(x)=\left(\dfrac{1}{x}+a\right)\ln(1+x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增。

$f'(x)=\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\ln(1+x)+\left(\dfrac{1}{x}+a\right)\cdot\dfrac{1}{1+x}$

$=\dfrac{-\ln(1+x)}{x^2}+\dfrac{1+ax}{x(1+x)}$

$=\dfrac{-(1+x)\ln(1+x)+x(1+ax)}{x^2(1+x)}$

需 $f'(x)\geq 0$，即 $g(x)=x(1+ax)-(1+x)\ln(1+x)\geq 0$（$x>0$）。

$g(0)=0$。

$g'(x)=1+2ax-\ln(1+x)-1=2ax-\ln(1+x)$

需 $g'(0)=0$（已满足）。$g'(x)\geq 0$ 需 $2ax\geq\ln(1+x)$。

当 $x\to 0^+$：$\ln(1+x)\approx x$，需 $2a\geq 1$，即 $a\geq\dfrac{1}{2}$。

当 $a=\dfrac{1}{2}$：$g'(x)=x-\ln(1+x)\geq 0$（因 $\ln(1+x)\leq x$）。$g'(x)\geq 0$ 故 $g(x)$ 递增，$g(x)\geq g(0)=0$。

当 $a<\dfrac{1}{2}$：$g'(x)=2ax-\ln(1+x)\approx(2a-1)x<0$（$x$ 充分小），$g(x)<0$，$f'(x)<0$。

故 $a\geq\dfrac{1}{2}$。

答案

(2) $a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)$。