函数集合与极值定义

$M=\{x_0\mid\forall x<x_0, f(x)<f(x_0)\}$，即 $f$ 在 $(-\infty,x_0)$ 上严格小于 $f(x_0)$ 的点。$M=[-1,1]$。

$x_0\in M$ 意味着 $f(x_0)$ 大于其左侧所有函数值，即 $f$ 在 $x_0$ 处达到（左侧的）新纪录。

$M=[-1,1]$：$-1$ 和 $1$ 之间的点是"左侧最大值点"，而 $x<-1$ 和 $x>1$ 的点不是。

A：存在偶函数 $f$ 使 $M=[-1,1]$。偶函数 $f(-x)=f(x)$。若 $x_0\in M$ 则 $-x_0$ 的左侧... 由对称性 $M$ 应关于原点对称，$M=[-1,1]$ 对称。但偶函数 $f$ 在 $x>0$ 递增则 $x<0$ 递减，$M$ 只有 $\{0\}$（或正半轴）。偶函数难以使 $M=[-1,1]$。A 不成立。

B：$f$ 在 $x=2$ 处取最大值。$2\notin M$，故 $f(2)$ 不是左侧最大值，但可以是全局最大值（$x=2$ 的左侧有更大的值）。构造 $f$：$[-1,1]$ 上递增，$[1,2]$ 上先降后升，$f(2)$ 为全局最大。可能。B 成立。

C：$f$ 为严格增函数。$f$ 严格增则所有 $x_0$ 都在 $M$ 中（每个点都大于左边），$M=\mathbf{R}\neq[-1,1]$。C 错误。

D：$f$ 在 $x=-1$ 处取极小值。$-1\in M$ 意味着 $f(-1)$ 大于 $x<-1$ 的值。若 $f$ 在 $x<-1$ 递减，$f(-1)$ 大于左边，$-1$ 可以是极小值（$f$ 在 $-1$ 左侧递减，右侧也递减一小段后转增）。但 $-1\in M$ 要求 $f(-1)$ 是 $(-\infty,-1)$ 的最大值，即 $f$ 在 $x<-1$ 时 $f(x)<f(-1)$，$-1$ 是左端的最大值，不是极小值。D 错误。

答案

B 正确。