含对数与三次项的函数综合

第(1)问

$b=0$ 时，$f(x)=\ln\dfrac{x}{2-x}+ax$，定义域为 $(0,2)$。

求导：$f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2-x}+a=\dfrac{2}{x(2-x)}+a$

令 $g(x)=x(2-x)=-(x-1)^2+1$，在 $(0,2)$ 上 $0<g(x)\leq 1$，当 $x=1$ 时取最大值 $1$。

因此 $\dfrac{2}{x(2-x)}\geq\dfrac{2}{1}=2$，当 $x=1$ 时取等号。

所以 $f'(x)\geq 2+a$。要使 $f'(x)\geq 0$ 恒成立，只需 $2+a\geq 0$，即 $a\geq -2$。

当 $a=-2$ 时，$f'(x)=\dfrac{2}{x(2-x)}-2=\dfrac{2-2x(2-x)}{x(2-x)}=\dfrac{2(x-1)^2}{x(2-x)}\geq 0$，等号在 $x=1$ 时成立。

故 $a$ 的最小值为 $-2$。

第(2)问

设 $g(x)=\ln\dfrac{x}{2-x}$，$h(x)=b(x-1)^3$。

对于 $g(x)$：$g(2-x)=\ln\dfrac{2-x}{x}=-\ln\dfrac{x}{2-x}=-g(x)$，即 $g(1+t)+g(1-t)=0$。

对于 $h(x)$：$h(1+t)+h(1-t)=bt^3+b(-t)^3=0$。

对于 $ax$：$a(1+t)+a(1-t)=2a$。

因此 $f(1+t)+f(1-t)=0+0+2a=2a$，即 $f(1+t)=2a-f(1-t)$。

又 $f(1)=\ln 1+a+0=a$，所以曲线 $y=f(x)$ 关于点 $(1,a)$ 中心对称。

第(3)问

$f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$，即 $f(x)>-2$ 在 $(1,2)$ 成立，$f(x)\leq -2$ 在 $(0,1]$ 成立。

由连续性，$f(1)$ 的右极限 $\geq -2$（因 $f(x)>-2$ 对 $x>1$），左极限 $\leq -2$（因 $f(x)\leq -2$ 对 $x<1$），故 $f(1)=a=-2$。

令 $u=x-1\in(0,1)$，则 $f(1+u)+2=\ln\dfrac{1+u}{1-u}-2u+bu^3$。

设 $\varphi(u)=\ln\dfrac{1+u}{1-u}-2u=2\left(\dfrac{u^3}{3}+\dfrac{u^5}{5}+\cdots\right)$，则 $\dfrac{\varphi(u)}{u^3}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2u^2}{5}+\dfrac{2u^4}{7}+\cdots$

该式关于 $u$ 严格递增，最小值为 $\dfrac{2}{3}$（$u\to 0^+$ 时）。

需要 $\varphi(u)+bu^3>0$ 对 $u\in(0,1)$ 恒成立，即 $b>-\dfrac{\varphi(u)}{u^3}$ 对所有 $u\in(0,1)$ 成立。

当 $b=-\dfrac{2}{3}$ 时，$\varphi(u)+bu^3=2\left(\dfrac{u^5}{5}+\dfrac{u^7}{7}+\cdots\right)>0$ 对 $u\in(0,1)$ 成立。

当 $b<-\dfrac{2}{3}$ 时，在 $u$ 充分小时 $\varphi(u)+bu^3\approx\left(\dfrac{2}{3}+b\right)u^3<0$，不满足。

由对称性，$u<0$ 时 $f(1+u)\leq -2$ 等价于 $\varphi(|u|)+b|u|^3\geq 0$，已被上述条件覆盖。

故 $b$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac{2}{3},+\infty\right)$。

答案

(1) $a$ 的最小值为 $-2$。

(2) 曲线 $y=f(x)$ 关于点 $(1,a)$ 中心对称。

(3) $b\geq -\dfrac{2}{3}$。