函数最近点新定义

第(1)问

$f(x)=\dfrac{1}{x}$（$x>0$），$M(0,0)$。$s(x)=x^2+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}$。

$s'(x)=2x-\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{2(x^4-1)}{x^3}$。$s'(x)=0$ 当 $x=1$（$x>0$）。

$0<x<1$ 时 $s'(x)<0$（递减），$x>1$ 时 $s'(x)>0$（递增）。故 $x=1$ 为最小值点。

$P=(1,f(1))=(1,1)$ 为最近点。$s(1)=2$ 为最小值。

答案

(1) 存在最近点 $P(1,1)$，$s(1)=2$ 为最小值。

第(2)问

$f(x)=e^x$，$M(1,0)$。$s(x)=(x-1)^2+e^{2x}$。

$s'(x)=2(x-1)+2e^{2x}$。

最近点处 $s'(x_0)=0$，即 $x_0-1+e^{2x_0}=0$，$x_0=1-e^{2x_0}$。

切线斜率 $f'(x_0)=e^{x_0}$。$MP$ 与切线垂直需 $\overrightarrow{MP}\cdot(1,e^{x_0})=0$。

$\overrightarrow{MP}=(x_0-1,e^{x_0}-0)=(x_0-1,e^{x_0})$。

$(x_0-1)\cdot 1+e^{x_0}\cdot e^{x_0}=0$，即 $x_0-1+e^{2x_0}=0$。

这恰与 $s'(x_0)=0$ 的条件相同！故最近点处 $MP$ 与切线垂直。

需验证最近点存在：$s'(x)=2(x-1+e^{2x})$。$s'(0)=2(-1+1)=0$。$s''(x)=2+4e^{2x}>0$，故 $s'$ 递增，$s'(x)=0$ 有唯一解 $x_0=0$。

但 $x_0=0$：$s(0)=1+1=2$。$P=(0,e^0)=(0,1)$。$MP=(−1,1)$，切线方向 $(1,1)$，$(-1)\cdot 1+1\cdot 1=0$。垂直成立。

答案

(2) 存在最近点 $P(0,1)$，$MP$ 与切线垂直成立。

第(3)问

$M_1(t-1,f(t)-g(t))$，$M_2(t+1,f(t)+g(t))$。对任意 $t$ 存在 $P$ 同时为两者的最近点。

$P$ 为 $f(x)$ 到 $M_1$ 的最近点：$\overrightarrow{M_1P}\perp$ 切线（由(2)的结论），即 $(x_0-(t-1),f(x_0)-(f(t)-g(t)))\cdot(1,f'(x_0))=0$。

同理对 $M_2$：$(x_0-(t+1),f(x_0)-(f(t)+g(t)))\cdot(1,f'(x_0))=0$。

由 $M_1$ 条件：$x_0-t+1+[f(x_0)-f(t)+g(t)]f'(x_0)=0$。

由 $M_2$ 条件：$x_0-t-1+[f(x_0)-f(t)-g(t)]f'(x_0)=0$。

两式相减：$2-2g(t)f'(x_0)=0$，$f'(x_0)=\dfrac{1}{g(t)}$。

两式相加：$2(x_0-t)+2[f(x_0)-f(t)]f'(x_0)=0$，$(x_0-t)+[f(x_0)-f(t)]\cdot\dfrac{1}{g(t)}=0$。

$(x_0-t)g(t)+f(x_0)-f(t)=0$，$f(x_0)=f(t)-(x_0-t)g(t)$。

设 $x_0=t$，则 $f(x_0)=f(t)$ 满足。此时 $f'(t)=\dfrac{1}{g(t)}$，即 $g(t)=\dfrac{1}{f'(t)}$。

若 $f$ 单调递增，则 $f'(t)>0$，$g(t)=\dfrac{1}{f'(t)}>0$ 有定义。

由 $P(x_0,f(x_0))$ 需对任意 $t$ 存在，$x_0$ 由方程确定。若 $f$ 单调递增，$s$ 凸性保证最近点存在。

答案

(3) $f(x)$ 为单调递增函数。