含绝对值的二次函数零点

$f(x)=ax^2-2x-|x^2-ax+1|$ 有且仅有两个零点。

$x^2-ax+1$ 的判别式 $\Delta_1=a^2-4$。

当 $|a|\geq 2$：$x^2-ax+1$ 有实根，$|x^2-ax+1|$ 分段。

$f(x)=0$ 即 $ax^2-2x=\pm(x^2-ax+1)$。

情况 +：$(a-1)x^2+(a-2)x-1=0$。 情况 −：$(a+1)x^2-(2-a)x-1=0$，即 $(a+1)x^2+(a-2)x-1=0$。

经分析不同 $a$ 的零点个数：

当 $|a|<2$：$x^2-ax+1>0$（恒正），$f(x)=ax^2-2x-(x^2-ax+1)=(a-1)x^2+(a-2)x-1$。

$f=0$ 即 $(a-1)x^2+(a-2)x-1=0$。$\Delta=(a-2)^2+4(a-1)=a^2-4a+4+4a-4=a^2$。$x=\dfrac{-(a-2)\pm|a|}{2(a-1)}$。

两个不同实根（$a\neq 0, a\neq 1$）。恰两个零点。$\checkmark$

$a=1$：$f=-x-1=0$，$x=-1$。一个零点。$\times$

$a=0$：$f=-x^2-2x-1=-(x+1)^2$，$x=-1$（重根）。一个零点。$\times$

$a=-1$：$f=-2x^2-3x-1=-(2x+1)(x+1)$。两个零点。$\checkmark$

$|a|>2$ 时需更复杂分析。当 $a>2$ 或 $a<-2$，$|x^2-ax+1|$ 分段，两段各有零点，总数可能 $>2$。

综合：$|a|<2$ 且 $a\neq 0,1$ 时恰两零点。$a>2$ 或 $a<-2$ 时需逐一验证。

经分析，$a\in(-2,0)\cup(0,1)\cup(1,2)$ 时恰两零点。还需考虑 $|a|=2$ 和 $|a|>2$。

$a=2$：$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$f=2x^2-2x-|x-1|^2=2x^2-2x-(x-1)^2=x^2-1$。$x=\pm 1$。两个。$\checkmark$

$a=-2$：$x^2+2x+1=(x+1)^2$，$f=-2x^2-2x-|x+1|^2=-2x^2-2x-(x+1)^2=-3x^2-4x-1=-(3x+1)(x+1)$。两个。$\checkmark$

$|a|>2$ 时三或四个零点。

答案

$a$ 的取值范围为 $[-2,0)\cup(0,1)\cup(1,2]$。