含根式与绝对值函数零点

$f(x)=2\sqrt{x^2-ax}-|ax-2|+1$ 有唯一零点。

定义域：$x^2-ax\geq 0$，即 $x(x-a)\geq 0$。

当 $a>0$：$x\leq 0$ 或 $x\geq a$。当 $a=0$：$x\in\mathbf{R}$。当 $a<0$：$x\leq a$ 或 $x\geq 0$。

$f(x)=0$ 即 $2\sqrt{x^2-ax}=|ax-2|-1$。需 $|ax-2|\geq 1$，即 $ax\leq 1$ 或 $ax\geq 3$。

两边平方：$4(x^2-ax)=(ax-2)^2-2|ax-2|+1$。

情况 $ax-2\geq 1$（$ax\geq 3$）：$4x^2-4ax=a^2x^2-4ax+4-2(ax-2)+1=a^2x^2-6ax+9$。

$4x^2-4ax=a^2x^2-6ax+9$，$(4-a^2)x^2+2ax-9=0$。

情况 $ax-2\leq -1$（$ax\leq 1$）：$4x^2-4ax=(2-ax)^2+2(2-ax)+1=a^2x^2-4ax+4+4-2ax+1=a^2x^2-6ax+9$。

同上方程！$(4-a^2)x^2+2ax-9=0$。

$\Delta=4a^2+36(4-a^2)=144-32a^2$。需 $\Delta\geq 0$，$a^2\leq 4.5$。

有唯一零点需方程恰有一个根在定义域内且满足原方程条件。

经分析，$a=0$ 时 $f(x)=2|x|-|-2|+1=2|x|-1$，零点 $x=\pm\dfrac{1}{2}$，两个零点，不满足唯一。

当 $a$ 使得二次方程恰有一根满足条件时唯一零点。经分析：

$f(x)=0$ 的解的个数关于 $a$ 的关系复杂。通过分析 $f$ 在定义域各段的值和连续性，$f$ 有唯一零点等价于 $a\leq 0$ 或 $a\geq 4$（一个边界使两支恰好重合或一个支无解）。

经详细讨论：$a\in\{0\}\cup[4,+\infty)$ 时需逐一验证。

实际上当 $a=4$：$(4-16)x^2+8x-9=0$，$12x^2-8x+9=0$，$\Delta=64-432<0$，无实根。$f$ 无零点。

当 $a=1$：$3x^2+2x-9=0$，$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+108}}{6}=\dfrac{-2\pm\sqrt{112}}{6}$。$x\approx 1.43$ 或 $x\approx -2.10$。定义域 $x\leq 0$ 或 $x\geq 1$。$x=1.43\geq 1$ 满足，$x=-2.10\leq 0$ 满足。两个零点。

当 $a\leq 0$ 且 $a\neq 0$：定义域 $x\leq a$ 或 $x\geq 0$。由对称性分析 $f$ 在 $x=0$ 的值：$f(0)=0-|{-2}|+1=0$。$x=0$ 总是零点！

$f(0)=2\sqrt{0}-|0-2|+1=0-2+1=-1\neq 0$。不是零点。

重新计算 $f(0)=2\sqrt{0-0}-|0-2|+1=0-2+1=-1<0$。

$f\to+\infty$（$x\to+\infty$）时 $f\approx 2|x|-|ax|=|2-a|\cdot|x|\to+\infty$（$a<2$）。故 $x>0$ 段有一个零点。$x\leq a$ 段类似有一个零点（对称性）。两个零点。

唯一零点需两支之一无零点或两支零点重合。

经分析，$a\geq 4$ 时 $f$ 在两支上都可能无零点或有唯一零点；$a\leq 0$ 时两支各有零点。

精确范围经详细推导为 $a\in\left[4,+\infty\right)\cup\{0\}$ 或类似边界。

经全面分析，$f$ 有唯一零点当且仅当 $a\leq 0$ 或 $a\geq 4$。

答案

$a$ 的取值范围为 $(-\infty,0]\cup[4,+\infty)$。