对数函数切线与不等式放缩

【答案】(1) $\dfrac{1}{3}-\dfrac{\ln3}{4}$ (2) 要证 $x>0$ 时 $f\left(x\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right)\ln\left(x+1\right)>1$ ，即证 $\ln\left(x+1\right)>\dfrac{2x}{x+2}$ ， 令 $g(x)=\ln\left(x+1\right)-\dfrac{2x}{x+2}$ 且 $x>0$ ，则 $g'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{4}{(x+2)^{2}}=\dfrac{x^{2}}{(x+1)(x+2)^{2}}>0$ ， 所以 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增，则 $g(x)>g(0)=0$ ，即 $\ln\left(x+1\right)>\dfrac{2x}{x+2}$ . 所以 $x>0$ 时 $f\left(x\right)>1$ (3) 设 $h\left(n\right)=\ln\left(n!\right)-\left(n+\dfrac{1}{2}\right)lnn+n$ ， $n\in N^{*}$ ， 则 $h\left(n+1\right)-h\left(n\right)=1+\left(n+\dfrac{1}{2}\right)lnn-\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\ln\left(n+1\right)=1-\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$ ， 由（2）知： $x=\dfrac{1}{n}$ $\in(0,1]$ ，则 $f(\dfrac{1}{n})=(n+\dfrac{1}{2})\ln(1+\dfrac{1}{n})>1$ ， 所以 $h(n+1)-h(n)<0$ ，故 $h(n)$ 在 $n\in N^{*}$ 上递减，故 $h(n)\le h(1)=1$ ； 下证 $\ln\left(n!\right)-\left(n+\dfrac{1}{2}\right)lnn+n>\dfrac{5}{6}$ ， 令 $\varphi(x)=lnx-\dfrac{(x+5)(x-1)}{4x+2}$ 且 $x>0$ ，则 $\varphi'(x)=\dfrac{(x-1)^{2}(1-x)}{x(2x+1)^{2}}$ ， 当 $0<x<1$ 时[插图] ， $\varphi(x)$ 递增，当 $x>1$ 时[插图] ， $\varphi(x)$ 递减， 所以 $\varphi(x)\le\varphi(1)=0$ ，故在 $x\in\left(0,+\infty\right)$ 上 $lnx\le\dfrac{(x+5)(x-1)}{4x+2}$ 恒成立， 则 $h(n)-h(n+1)=(n+\dfrac{1}{2})\ln(1+\dfrac{1}{n})-1\le(n+\dfrac{1}{2})⋅\dfrac{(6+\dfrac{1}{n})(\dfrac{1}{n})}{2(3+\dfrac{2}{n})}-1=\dfrac{1}{4n(3n+2)}<\dfrac{1}{12}(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n})$ ， 所以 $h(2)-h(3)<\dfrac{1}{12}(1-\dfrac{1}{2})$ ， $h(3)-h(4)<\dfrac{1}{12}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})$ ，…， $h(n-1)-h(n)<\dfrac{1}{12}(\dfrac{1}{n-2}-\dfrac{1}{n-1})$ ， 累加得： $h(2)-h(n)<\dfrac{1}{12}(1-\dfrac{1}{n-1})$ ，而 $h(2)=2-\dfrac{3}{2}\ln2$ ， $h(1)=1$ 因为 $\dfrac{7}{9}>\dfrac{3}{4}>\ln2$ ，所以 $h(2)=2-\dfrac{3}{2}\ln2>\dfrac{5}{6}$ ， 则 $-h(n)<\dfrac{1}{12}(1-\dfrac{1}{n-1})-2+\dfrac{3}{2}\ln2\left(n\ge3\right)$ ， 所以 $h(1)-h(n)<\dfrac{3}{2}\ln2-1+\dfrac{1}{12}(1-\dfrac{1}{n-1})<\dfrac{3}{2}\ln2-1+\dfrac{1}{12}<\dfrac{1}{6}$ ，故 $h(n)>\dfrac{5}{6}\left(n\ge3\right)$ ； 综上， $\dfrac{5}{6}<h(n)\le1$ ，即 $\dfrac{5}{6}<\ln\left(n!\right)-\left(n+\dfrac{1}{2}\right)lnn+n\le1$ . 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率 （2） 问题化为 $x>0$ 时 $\ln\left(x+1\right)>\dfrac{2x}{x+2}$ ，构造 $g(x)=\ln\left(x+1\right)-\dfrac{2x}{x+2}$ ，利用导数研究单调性，即可证结论 （3） 构造 $h(n)=\ln\left(n!\right)-\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\ln\left(n\right)+n$ ， $n\in N^{*}$ ，作差法研究函数单调性可得 $h(n)\le h(1)=1$ ，再构造 $\varphi(x)=lnx-\dfrac{(x+5)(x-1)}{4x+2}$ 且 $x>0$ ，应用导数研究其单调性得到 $lnx\le\dfrac{(x+5)(x-1)}{4x+2}$ 恒成立，对 $h(n)-h(n+1)$ 作放缩处理，结合累加得到 $h(1)-h(n)<\dfrac{3}{2}\ln2-1+\dfrac{1}{12}<\dfrac{1}{6}\left(n\ge3\right)$ ，即可证结论. 【详解】（1） $f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{x}+\dfrac{\ln(x+1)}{2}$ ，则 $f'(x)=\dfrac{1}{x(x+1)}+\dfrac{1}{2(x+1)}-\dfrac{\ln(x+1)}{x^{2}}$ ， 所以 $f'(2)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{\ln3}{4}$ ，故 $x=2$ 处的切线斜率为 $\dfrac{1}{3}-\dfrac{\ln3}{4}$ （2） 略 （3） 略 【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究 $h\left(n\right)=\ln\left(n!\right)-\left(n+\dfrac{1}{2}\right)lnn+n$ 单调性证右侧不等关系，再构造 $\varphi(x)=lnx-\dfrac{(x+5)(x-1)}{4x+2}$ 且 $x>0$ ，导数研究其函数符号得 $lnx\le\dfrac{(x+5)(x-1)}{4x+2}$ 恒成立，结合放缩、累加得到 $h(1)-h(n)<\dfrac{3}{2}\ln2-1+\dfrac{1}{12}(1-\dfrac{1}{n})$ 为关键.