等差数列与等比数列嵌套

第(1)问

$\{a_n\}$ 等差数列，$a_2+a_5=16$，$a_5-a_3=4$。$a_5-a_3=2d=4$，$d=2$。

$a_2+a_5=(a_1+d)+(a_1+4d)=2a_1+5d=2a_1+10=16$，$a_1=3$。

$a_n=3+2(n-1)=2n+1$。

$\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}a_i=\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}(2i+1)=2\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}i+\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}1$

$=2\cdot\dfrac{(2^{n-1}+2^n-1)(2^n-2^{n-1})}{2}+2^{n-1}$

$=(2^{n-1}+2^n-1)\cdot 2^{n-1}+2^{n-1}$

$=2^{n-1}(2^{n-1}+2^n-1+1)=2^{n-1}\cdot 3\cdot 2^{n-1}=3\cdot 4^{n-1}$

答案

(1) $a_n=2n+1$，$\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}a_i=3\cdot 4^{n-1}$。

第(2)问

$\{b_n\}$ 为等比数列，$2^{k-1}\leq n\leq 2^k-1$ 时 $b_k<a_n<b_{k+1}$。

因 $a_n=2n+1$，$a_{2^{k-1}}=2^k+1$，$a_{2^k-1}=2^{k+1}-1$。

故 $b_k<2^k+1$ 且 $2^{k+1}-1<b_{k+1}$，即 $b_{k+1}>2^{k+1}-1$。

(I) 证 $2^k-1<b_k<2^k+1$（$k\geq 2$）。

由 $b_k<a_{2^{k-1}}=2^k+1$（上界已证）。

下界：$b_k>a_{2^{k-1}-1}=2^k-1$（因 $n=2^{k-1}-1$ 属于第 $k-1$ 段，$a_{2^{k-1}-1}<b_k$）。

故 $2^k-1<b_k<2^k+1$。

(II) $\{b_n\}$ 等比，设 $b_n=b_1\cdot r^{n-1}$。

由 $b_k$ 接近 $2^k$，猜测 $r=2$，$b_1=2$，$b_n=2^n$。

验证：$b_k=2^k$，$2^k-1<2^k<2^k+1$。$\checkmark$

$b_k<a_{2^{k-1}}=2^k+1$：$2^k<2^k+1$。$\checkmark$

$a_{2^k-1}=2^{k+1}-1<b_{k+1}=2^{k+1}$：$2^{k+1}-1<2^{k+1}$。$\checkmark$

$b_n=2^n$，前 $n$ 项和 $T_n=2+4+\cdots+2^n=2(2^n-1)=2^{n+1}-2$。

答案

(2)(I) 证明见解析。(II) $b_n=2^n$，前 $n$ 项和 $T_n=2^{n+1}-2$。