向量线性表示与点积最大值

$\angle A=60°$，$BC=1$。$D$ 为 $AB$ 中点，$E$ 为 $CD$ 中点。

$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec{b}$，$|\vec{a}|=c$，$|\vec{b}|=b$（$BC=a=1$）。

$D=\dfrac{1}{2}\vec{a}$（$A$ 为原点）。$C=\vec{b}$。

$\overrightarrow{CD}=D-C=\dfrac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}$。$E=C+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\vec{b}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}\right)=\dfrac{1}{4}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}$。

$\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}$。

$\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})$。$F=B+\overrightarrow{BF}=\vec{a}+\dfrac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})=\dfrac{2}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}$。

$\overrightarrow{AF}=\dfrac{2}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}$。

$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=\left(\dfrac{1}{4}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}\right)\cdot\left(\dfrac{2}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{3}\vec{b}\right)$

$=\dfrac{1}{6}|\vec{a}|^2+\dfrac{1}{12}\vec{a}\cdot\vec{b}+\dfrac{1}{3}\vec{a}\cdot\vec{b}+\dfrac{1}{6}|\vec{b}|^2$

$=\dfrac{1}{6}|\vec{a}|^2+\dfrac{5}{12}\vec{a}\cdot\vec{b}+\dfrac{1}{6}|\vec{b}|^2$

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 60°=\dfrac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|$

设 $|\vec{a}|=c$，$|\vec{b}|=b$，$BC=1$：$1^2=b^2+c^2-2bc\cos 60°=b^2+c^2-bc$。

$E=\dfrac{c^2}{6}+\dfrac{5bc}{24}+\dfrac{b^2}{6}=\dfrac{b^2+c^2}{6}+\dfrac{5bc}{24}=\dfrac{4(b^2+c^2)+5bc}{24}$

$=\dfrac{4(1+bc)+5bc}{24}=\dfrac{4+9bc}{24}$

需最大化 $bc$。$b^2+c^2-bc=1$，$b^2+c^2=1+bc$。$(b+c)^2=1+3bc$。

由 $b^2+c^2\geq 2bc$：$1+bc\geq 2bc$，$bc\leq 1$。$bc=1$ 时 $b=c=1$（等边三角形）。

$E_{\max}=\dfrac{4+9}{24}=\dfrac{13}{24}$

答案

$\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}$，$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}$ 的最大值为 $\dfrac{13}{24}$。