第6讲 宋元四大家：算学的巅峰与停顿 —— 高度不是常态

前五讲讲的是人怎么等读者。这一讲反过来：有一百年，中国数学不需要等——然后接连五六百年，没有人再往下走。

1247 年《数书九章》成书到 1303 年《四元玉鉴》刻成，中间只有五十六年。这段时间出现了四种当时世界上只有中国人掌握的方法：一次同余方程组的通用解法、一元高次方程的数值解法、四元高次方程组的消元、直到四次差的内插公式。然后它们在明代几乎全部失传，懂的人一个都没有。

高度不是常态，停顿才是需要解释的东西。

先看高度：一百年间的四本书

四个人按成书顺序是秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰，后世称"宋元四大家"。

这个名目是 20 世纪的归纳，不是他们自己的说法。 四人分处两个政权、南北两片地域，彼此不一定知道对方存在：秦九韶 1247 年成书时杨辉还是少年，而杨辉一生没有引用过秦九韶任何成果；朱世杰最晚，才第一次把南北两边的算书读到一起。

还有一点：四个人的生卒年，三个不确切。杨辉、朱世杰生卒年皆不详，秦九韶生年有 1202、1208 两说，卒年有 1261、1268 两说，学界没有共识；只有李冶有确切的 1192—1279。这个"不详"本身就是史实。 生卒年能否留下来，取决于身份进没进正统史传。这四个人都是算学家，不是以儒学立身的士大夫。

杨辉：把北宋的成果接住的人

杨辉是四个人里最像"老师"的一个，一生写了五种二十一卷算书，流传最广的是 1261 年的《详解九章算法》。

这本书今天只传下来一部分，而它最大的作用恰恰是"保存"。 杨辉以刘徽注、李淳风注释和北宋贾宪《黄帝九章算经细草》为底本，在书中记下了贾宪的"开方作法本源"图和"增乘开方法"。贾宪原书后来失传，今天能知道贾宪做过这些工作，靠的是杨辉这一笔引用。

所以课本上那个"杨辉三角"，最早该叫贾宪三角。这又是本专题反复出现的题型：流传的名字和真实的作者不是同一个人。杨辉在书中注明此图出自贾宪的《释锁算书》，没有贪功。

他还发展了垛积术，接在沈括"隙积术"后面往下做。另一件事更有实感：他把 246 道《九章算术》的题目按解法重新分类写成"纂类"，并为初学者订了"习算纲目"——那是中国数学教育史上的一份课程大纲。

秦九韶：一本从历法里长出来的书

《数书九章》十八卷，九类各九题，共 81 题，1247 年成书，被公认可与《九章算术》并列。

书里最著名的大衍求一术，起点不是数论，是历法。 秦九韶在序里说，历家推演历法常用这个方法求"上元积年"，却被"误也"当成解方程。上元积年是古代历法假想的一个理想起点，要求它同时满足好几个同余条件，本质就是解一次同余方程组：

他的程序是先求各模数的乘积（衍母），再逐个求乘率 $k_i$ 使 $k_i M_i \equiv 1 \pmod{m_i}$，最后合成 $x=\sum a_i k_i M_i$。求乘率那一步，名字就叫大衍求一术。

这里有一处表述必须严谨。 常说"秦九韶比高斯早五百年得出中国剩余定理"，这说法容易被讲错。1801 年高斯的《算术研究》确实系统处理了一次同余问题，方法与秦九韶一致；但高斯给出的是定理的一般性陈述与证明，秦九韶给出的是一套能上手算的构造性程序，面对的是历法上的具体算题。同类问题，两种完成度，不能算同一个定理的两种表述。 顺带说一句，"中国剩余定理"这个名字是西方数学史界后加的，中国自己的名字叫大衍求一术。

同一本书里还有正负开方术，用"随乘随加"求一元高次方程的正根。这套方法与 1819 年霍纳在英国提出的方法实质相当。 1852 年英国人伟烈亚力在上海用英文撰文介绍中国算学，明确指出秦九韶的开方术相当于霍纳法，称秦九韶是我们所知第一个完整发展出解复杂方程方法的人——此文后被译成法文、德文，在欧洲学界影响很大。

而这本书后来几乎湮没六百年，直到 1842 年才第一次刻印出版。

李冶：让未知数站到前台

李冶本名李治，金朝进士，金亡后北渡隐居，靠讲学为生，同元好问等人往来甚多，世称"元李"。

《测圆海镜》十二卷，170 问，1248 年写成，1282 年刊出。全书只做一件事：用一个统一方法把"勾股容圆"这类问题全部解掉。 这个方法就是天元术。

天元术的骨干用今天的话说就是三句话：立天元一为某某；把题目条件写成两个相等的多项式；两式相消，得到一个开方式，再解它。

第一句翻译成课堂语言就是"设 $x$"。 难的是后面两步——在没有符号的多项式运算里，从条件推到方程，还要处理高次幂。李冶的贡献是把这套东西整理成可以教给别人的次序。在他之前，早期天元术著作用十九个单字表示未知数从 $x^{-9}$ 到 $x^9$ 的各次幂（仙、明、霄、汉、垒、层、高、上、天、人、地、下、低、减、落、逝、泉、暗、鬼），李冶把它统一了。

《益古演段》三卷，1259 年完成，教材意图更明显：用几何图形（"条段"）去说明代数（天元术）怎么来的，让初学者有路可走。他担心的是当时算家"隐互错糅、惟恐学者得窥其仿佛"的习气——把方法藏着掖着。

据《元史》本传，李冶临终前对儿子说：我平生写的字都可以烧掉，只有《测圆海镜》这部"小术"是我精思力行之作，后世一定有人能懂它。他这句话说对了，但代价是四百年。

朱世杰：把四家的东西并成一条

朱世杰是四个人里唯一把前人成果合起来读的人。《四元玉鉴》三卷、二十四门、288 问，1303 年刻于扬州。

他把李冶的一元推广到二元、三元、四元，四个未知数叫天、地、人、物，常数项居中，四元分置四面，靠"互隐通分、剔而消之"一步步化多元为一元。全书 288 问里，用四元的有 7 问，三元 13 问，二元 36 问，一元 232 问。

数量要有交代：真正用到四元的只有 7 问。 这不是贬低——多元高次方程组的消元极难，做到这一步已经很不容易。西方要到 1779 年贝祖的工作才有系统的处理。

书里更值得一说的是：朱世杰把招差术推到四次差，还指出招差公式里的系数恰好依次是各三角垛的积。他把"高阶等差级数求和"和"高次内插"这两件事打通了。 这个四次内插公式比欧洲牛顿的同类成果早了将近四个世纪。用今天的话讲，若等距点上的各阶差分为 $\Delta_1,\dots,\Delta_4$，则

学过差分的同学会认得它——这就是牛顿前向差分插值公式。

停顿是怎么发生的

先看第一层：没有人再教，也没有人再考。

隋唐设算学，唐国子监下设算学馆，招三十人，学成可走"明算科"得官——官阶最低。这一科到晚唐就废了。宋元明清的科举，从分科取士归到只有进士一科，考的是经义文章。一条一旦不能换出身的路，愿意走的人就会骤减。

更实在的问题是天元术著作的青黄不接。蒋周《益古集》、李文一《照胆》、石信道《钤经》、刘汝谐《如积释锁》——这些早期天元术著作，在李冶写书时就已难见到，如今全部失传。《测圆海镜》卷七里那道题解法写得很省略："立天元一为半城径，副置之，上加南行步……"没有符号，只有口诀式的步骤。这套东西一旦断代，比失传更快的是无人能读。

再看第二层：明末西学东渐时，中国学者面对的是一套完全不同的语言。

1607 年徐光启、利玛窦译出《几何原本》前六卷；同期的《同文算指》对古代《九章算术》多有辨订，唯独对立天元一法一字不提。 明代两位还算懂算的官员唐顺之、顾应祥，明说读不懂"立天元一，如积求之，漫不省为何语"；焦循后来总结是"终明之世，此学遂微"。

这一层最值得讲清楚，因为它最容易被讲偏。明代学者接不上自己的传统，不是因为笨，是因为符号系统断了。 天元术是算筹上的位置表示法，靠算筹摆放和"上、下、层、低"这些方位词工作；明末算盘已经取代筹算，载体没了，方位词也失去了指代对象。这时传进来的欧洲代数用的是字母和符号，两种语言无法互译——不是观点的冲突，是连字典都没有。

清代学者花了很大力气才把这条线接回来：1772 年四库开馆，馆臣从《永乐大典》辑出《九章算术》《测圆海镜》《益古演段》《数书九章》，乾嘉学者钱大昕、李锐、宋景昌、沈钦裴、罗士琳、李善兰才开始校勘、演草、研究；而"借根方"这类西方代数方法的传入，反倒给了他们理解天元术的一把钥匙。

《四元玉鉴》的遭遇更极端：四库开馆时没找到它，1799 年阮元、李锐编《畴人传》时也还没见到；直到嘉庆初年阮元在浙江访得抄本，才呈入四库，交何元锡据以刊刻——这是 1303 年初版以来第一个重刻本。阮元访得此书的确切年份待考，但"书在，没有人知道它在哪儿"这个事实是确定的。

清代人对朱世杰的评价相当一致：罗士琳说他"兼包众有，尤超越乎秦、李之上"，王鉴说他兼秦九韶、李冶之长。

课本今天怎么叫它们

杨辉三角就是二项式系数表。 课本讲二项式系数的性质，用的图就是杨辉三角：每行首尾为 1，中间每个数等于它肩上两个数之和，即 $\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}$。这张图 13 世纪就有，杨辉注明它出自贾宪。

大衍求一术在数学史里叫"中国剩余定理"。 课本正文一般不教，但《孙子算经》"物不知数"那道题常被拿来做阅读材料。要分清：秦九韶的方法是同余方程组的通用解法，不是那一道题的特解——那一题东汉就有，秦九韶给的是对付任意题目的程序。

增乘开方与正负开方术，对应求高次方程数值根。 课本用二分法，课外会讲牛顿迭代。它们同源但路径不同： 秦九韶的"随乘随加"是纯代数的机械化程序，每一步都是确定的加减乘；牛顿迭代是几何式的，靠切线与导数逐步逼近。

垛积术是课本数列的一块跳板。 最漂亮的入口是平方和：

这个公式课本要求记住，它的来源就在沈括的隙积术、杨辉的垛积术这条线上。

讲给学生听时，讲什么

第一，讲清"杨辉三角"这个名字里有问题。 让学生自己看课本那张图，问一句：这张图真的是杨辉第一个画出来的吗？然后把杨辉在书里注明"出《释锁算书》，贾宪"这件事告诉他。这不是小题大做——这是训练学生查原始出处最省力的一次。

第二，讲"中国剩余定理"时把两件事分开。 先把《孙子算经》那道"三三数之剩二"写在黑板上，让学生用枚举法解；再告诉他们，秦九韶做的是不用枚举、任意题目都能解的程序。对比着讲，学生立刻明白"一个问题的巧解"和"一类问题的通用解法"差多远。

第三，讲"停顿"时只摆事实，不追加情绪。 科举不设算学科、天元术著作尽数失传、算筹被算盘取代、明末面对另一套符号——这四条已足够解释。任何一句"中国人以前很行后来不行了"都会把学生带偏。数学是语言的传统，语言断了就要重新学，这和民族气质没有关系。

第四，把"失传"讲成一件日常的事。 《四元玉鉴》1303 年刻成，近六百年没人知道它在哪儿；秦九韶 1247 年写完的书，1842 年才第一次印刷。让学生猜：一部书怎么会"在，但没人知道"？这个问题想通了，他们对自己笔记本里那些没整理的知识会有不同的感觉。

一句话总结

一百年里冲到的高度，和之后五百年的沉默，是同一条线的两端——高度靠人一代代接住，沉默只要中间断一次就够了。

附：本文涉及的史实出处

• 杨辉：《详解九章算法》十二卷，宋景定二年（1261）成书，今传本残缺；书中载贾宪"开方作法本源"图与"增乘开方法"，杨辉注明出自贾宪《释锁算书》；五种算书共二十一卷；垛积术、纂类、习算纲目
• 秦九韶：《数书九章》十八卷九类八十一题，淳祐七年（1247）成书；大衍总数术与"中国剩余定理"的关系，及与高斯《算术研究》（1801）的表述差异；正负开方术同霍纳法（1819）的对应，见伟烈亚力 1852 年在 North-China Herald 的连载文章；生卒年 1202/1208 与 1261/1268 两说并存，学界未定
• 李冶（1192—1279）：《测圆海镜》十二卷 170 问，1248 年成书、1282 年刊；《益古演段》三卷，1259 年完成；天元术次序与早期十九字记法，见《敬斋古今黈》卷三；临终语出《元史》本传
• 朱世杰：《四元玉鉴》三卷二十四门 288 问，大德七年（1303）扬州刊；四元 7 问、三元 13 问、二元 36 问、一元 232 问；四次招差公式与各三角垛的关系；《算学启蒙》1299 年刊；罗士琳、王鉴、阮元的评述与重刻经过；梅文鼎《赤水遗珍》释"或问歌彖"两则
• 停顿：唐国子监算学与明算科的设置及晚唐废止；元明清科举归进士一科；顾应祥、唐顺之读不懂"立天元一"，见焦循《天元一释》；1772 年四库馆臣辑书与乾嘉学者校勘