第1讲 那些被记住的瞬间，其实都不是瞬间

网站的首页上有一块「数学日历」，每天转出一张卡片：有时是一个定理，有时是一道趣题，有时是某个数学家的故事。

故事那几张卡片最好看。卡片上的数学家都活在高光里：高斯十岁报出 5050，阿基米德光着身子跑出浴缸喊着「尤里卡」，伽罗瓦在决斗前夜奋笔疾书，陈景润在六平方米的小屋里撼动了世界。学生读完，记住的是掌声。

但这十张卡片都只讲了一半。它们停在最高潮的地方，没有讲这高潮之前有多长。

这篇文章返工这十张卡片。不复述，查证——把它们放回各自发生的地方，看看那些被记住的瞬间，究竟发生在多长的日常之后。

十个故事的背面

高斯：一个流传了两百年、长出了手脚的故事。

日历上那个版本你大概很熟：老师让全班算 $1+2+\cdots+100$，想清静一节课，高斯瞬间给出 5050，因为他发现首尾配对，每一对都是 101，共 50 对。

这个故事出自高斯去世后的第二年——1856 年，由他的同事兼朋友萨托里尔斯出版的第一部高斯传记。是朋友的转述，而且高斯本人从没说过当年算的是什么数列，也没说过自己用的方法。 流传版本里那些具体的细节——题目是 1 加到 100、老师叫比特纳、目的是想清静一节课——都是传记留下骨架之后，后人一点点补上去的。

一个能流传两百年的故事，会自己长出手脚。真正值得学的是方法本身：

$$S_n=\frac{(a_1+a_n)\times n}{2}$$

倒序相加，跟天赋无关，人人都能学会。

阿基米德：课本里那个版本，可能是量不出来的。

课本里他测溢出的水。问题在于当时几乎不可能测得准：银的密度大约只有金的一半，往等重的黄金里掺进一成等质量的银，体积只多出大约 8%；而皇冠不规则、取出时会带走一层水，这点差别很难稳定读出。伽利略 1586 年的论文《小天平》就指出过它站不住脚，并用杠杆原理还原了一个更像样的版本：皇冠与等重纯金分挂天平两端，一同浸入水中，掺银那头因浮力差而倾斜。它要观察的不是「多了多少水」，只是「天平朝哪边歪」。

伽罗瓦：那封信不是遗言，是一份数学提纲。

1832 年 5 月 29 日夜，他给朋友谢瓦利埃写了一封信。信里不是诀别，是宣布「用根式解方程的判别方法」——今天普遍认为这是现代数学里「群」这个术语首次正式出场。第二天他中枪，二十岁。

故事没在那一夜结束：死后十四年，刘维尔才整理他的手稿并确认正确，1846 年发表；又过了几十年，这个理论才真正被读懂。所以伽罗瓦的故事不是天才一夜的灵光，是等了二十年没等到读者的故事。他生前的影响力几乎是零。

陈景润：故事的顺序被压扁了。

日历写他在 6 平方米小屋中用几麻袋草稿纸证明了「1+2」。基本是真的，但完整顺序更长：1957 年他先住进三平方米的厕所，一住两年；后来才有了那间六平方米的刀把形锅炉房。还有一个时间点常被忽略——1966 年他在《科学通报》上宣布证明了「1+2」，那只是摘要式的报告，论证远不完整。真正的完整证明在 1973 年，中间隔了整整七年。 让他家喻户晓的也不是数学界，是 1978 年徐迟的报告文学。

拉马努金：那句年薪二十英镑的求职信。

他没受过正规大学教育，但不是没受过教育：数学成绩优异、拿过奖学金，只是其他科目大片空白，两次落榜拿不到学位。1913 年 1 月 16 日，他给哈代写信，开头是：

I beg to introduce myself to you as a clerk in the Accounts Department of the Port Trust Office at Madras on a salary of only £20 per annum.

这句怯生生的开场白，可能是数学史上最著名的一句求职。哈代 2 月 8 日回信，同年 4 月他抵达伦敦。1918 年当选皇家学会会员，三十岁；1920 年病逝，三十三岁。

关于那些公式的来源，最流行的说法是「女神托梦」。另一种解释也说得通：那些梦，是他长期高强度思考后的沉积。 他早年改用石板演算——那时候一张到马德拉斯的三等车厢双程车票大约要花掉他父亲一周的薪水。朋友们后来注意到他的肘部又粗又黑，因为他怕找布擦耽误时间，宁可拿手肘去擦石板。

刘徽：先补上一个证明，再算一个数。

日历说他从正六边形割到正 3072 边形得 $\pi\approx3.1416$。数字都对，但只讲这几个数就把立意讲低了。割圆术真正的贡献，是给《九章算术》里那句没有证明的话「半周半径相乘得积步」补上了证明——在刘徽之前，人们用内接正十二边形拼补成长方形来「说明」它，他指出这并不严密。刘徽不是算圆周率，他是给一个算法补上了证明。

华罗庚：改命的是一篇论文，不是那个铺子。

1925 年他因家贫辍学，帮父亲看杂货铺，靠一本《大代数》、一本《解析几何》和一本 50 页的《微积分》自学，每天十小时以上。1929 年他得了伤寒，左腿落下终身残疾。真正改变命运的是 1930 年那篇指出苏家驹五次方程解法不能成立的论文——清华算学系主任熊庆来看到后到处打听这是哪个大学的教授，得到的回答是：一个自学青年。从杂货铺到清华，靠的不是逆境本身，是逆境里发表的那篇论文。

希尔伯特：他当场只讲了十个。

1900 年 8 月 8 日，巴黎索邦，希尔伯特作了题为《数学问题》的演讲，现场只讲了 10 个问题，23 个问题的完整清单是后来发表在会议论文集里的。而那句「我们必须知道，我们将会知道」——出自 1930 年他在家乡柯尼斯堡的电台演讲，四分钟片段录了音留存至今，后来还刻在了他的墓碑上。日历把它挂在 1900 年，是错的。

图灵与欧拉：另外两则。

图灵机不是凭空出现的——它是在重述哥德尔 1931 年关于数学系统局限性的结果，不是一台机器，是一个关于「什么是可计算」的定义。波兰数学家在战前就已破译过 Enigma 的商用版本，并把方法带到盟国。欧拉发表或未发表的著作总量接近 900，正式发表的论文约 866 篇；1738 年右眼近乎失明，1771 年另一只眼也几乎全盲，此后近一半作品是在失明状态下口授完成的，1775 年他平均每周完成一篇论文。

把它们排到同一条时间轴上

这十则故事有个几乎固定的形状：一个说不清多长的日常，加上一个决定性的时刻。 高斯在十岁以前已经心算很久，阿基米德在浸入水中以前已经想了几天，伽罗瓦在写那封信以前已经做了好几年没人看的数学，陈景润在发表完整证明以前已经独自做了七年，拉马努金在写信以前已经用光了几百本笔记。

而我们记住的、写在卡片上的，只有红点那么宽。

这不是说故事讲错了。故事是讲给人听的，天然需要剪裁。问题是我们把剪裁后的版本当成了全部，以为数学是一连串灵光。实际上数学是坐下来做。

讲给学生听时，讲什么

讲处境的长度，而不是只讲高光。 陈景润的三平米厕所和七年不被理睬的论文，比只讲六平米小屋更真实，也更动人。

分清哪些可复现，哪些不可复现。 高斯首尾配对的方法人人能学会；拉马努金那种无师自通的直觉不可复现。把不可复现的讲成传奇，学生会得出「数学靠天赋」的错误结论。

讲证据。 伽罗瓦的信还在，陈景润的论文还在，拉马努金的笔记本后来也整理出版了——它们能证明这些故事的主角不是凭神秘瞬间工作的，他们有草稿、有推算、有退回去重来的痕迹。

讲环境的具体作用。 清华收下了华罗庚，剑桥收下了拉马努金，数学所给了陈景润一张床板。这不是「是金子总会发光」——华罗庚若没有遇见熊庆来，很可能一生都是庶务员。命运在这里是有具体中介的。

最后一条，关于故事本身。 这些故事之所以流传，不是因为它们准确，而是因为人们需要它们。知道一个故事在流传中会长出手脚，本身就是个很有用的习惯——怀疑的不是这些数学家，怀疑的是转述。

一句话总结

故事是讲给人听的，数学是坐下来做的：记住的是瞬间，做出来的是长年累月。

后面的几讲

这篇是总论。接下来会分几条线深挖：那些没等到读者的人（伽罗瓦、拉马努金、诺特、阿贝尔）；一间小屋能装下什么（陈景润、华罗庚、张益唐）；给古书作注的人（刘徽、祖冲之、徐光启）；以及被讲反了的因果。

附：本文涉及的史实出处

• 高斯：Sartorius von Waltershausen《Gauss zum Gedächtnis》，1856
• 阿基米德金冠：维特鲁威《建筑十书》卷九；伽利略《La Bilancetta》，1586
• 伽罗瓦：致谢瓦利埃信，1832 年 5 月 29 日；刘维尔整理发表于 1846 年
• 陈景润：1966《科学通报》；1973《中国科学》；徐迟《哥德巴赫猜想》，《人民文学》1978 年第 1 期
• 拉马努金：致哈代信，1913 年 1 月 16 日；MacTutor；蔡天新《拉马努金：一个未成年的天才》
• 刘徽割圆术：《九章算术注》，魏景元四年（263 年）
• 华罗庚：1930《科学》杂志第 15 卷第 2 期；清华档案馆及段学复《怀念华罗庚》
• 希尔伯特：1900 年巴黎演讲《数学问题》；1930 年 9 月 8 日柯尼斯堡电台演讲《Natur erkennen und Logik》
• 图灵：On Computable Numbers…，1936；Computing Machinery and Intelligence，1950