概率统计

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，命中则此人继续，未命中则换对方。甲每次命中率 公式 ，乙 公式 。第 公式 次投篮的人是甲、乙的概率各为 公式 。 (1) 求第 公式 次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 公式 次投篮的人是甲的概率； (3) 记前 公式 次中甲投篮的次数为 公式 ，求 公式 。

公式 个球标 公式 ，不放回抽 公式 次。 公式 为前两次数字均值， 公式 为三次数字均值。 公式 的概率是____。

投篮比赛分两阶段。第一阶段 公式 名队员投 公式 次，投中则另一队员投 公式 次，每次投中得 公式 分。甲乙两队，甲投中概率 公式 ，乙投中概率 公式 ，各次独立。 (1) 公式 ， 公式 ，甲参加第一阶段，求成绩不少于 公式 分的概率； (2) 公式 ：(i) 为使成绩 公式 分概率最大由谁参加？(ii) 为使期望最大由谁参加？

在 公式 方格表中选 公式 个方格，每行每列恰选一个。数据如下： 第一行： 公式 第二行： 公式 第三行： 公式 第四行： 公式 共有____种选法，选中方格中 公式 个数之和的最大值是____。

甲持有数字 公式 ，乙持有数字 公式 ，双方各随机抽取一个数字进行比较，共进行四轮（每轮各从剩余数字中抽取），甲总得分 公式 的概率是____。

19. 甲乙乒乓球练习, 每球胜者得1分. 甲胜概率 公式 , 乙 公式 , 各球独立. 公式 : 公式 球后甲比乙至少多2分概率; 公式 : 公式 球后乙比甲至少多2分概率. (1) 公式 ; (2) 公式 , 求 公式 ; (3) 证 公式 .

14. 有5个相同的球, 分别标有数字 1, 2, 3, 4, 5, 从中有放回地随机取3次, 每次取1个球。记 公式 为这5个球中至少被取出1次的球的个数, 则 公式 的数学期望 公式 公式 。

题目

一个智能机器人连续投篮 公式 次，一次只投一个篮球，每次投篮命中的概率均为 公式 ，每次投篮互不影响。记至少连续 公式 次投进的概率为 公式 ，已知 公式 。 （1）写出 公式 和 公式 的值； （2）设 公式 为连续投进篮球数的最大值，求 公式 时 公式 的分布列和期望； （3）求 公式 的值。

21. 已知 公式 是 公式 的一个排列，若函数 公式 ， 公式 ， 公式 ，对任意 公式 ，都有 公式 且 公式 ，则称 公式 是关于 公式 ， 公式 ， 公式 的一个 公式 排列，则关于 公式 ， 公式 ， 公式 的 公式 排列总数记为 公式 。 （1）已知 公式 ， 公式 ， 公式 ， 公式 ，判断 公式 是否为 公式 排列； （2）对 公式 ， 公式 ， 公式 ， 公式 满足条件的 公式 ，求 公式 的取值范围； （3）对 公式 ，且对任意 公式 ， 公式 ，令 公式 ， 公式 ， 公式 ， 公式 ，证明：若 公式 严格减，则存在 公式 ，使 公式 ；若 公式 严格增，则存在 公式 ，…

设 公式 为空间中 公式 个点构成的集合，点 公式 ，记样本空间 公式 ，从 公式 中随机取一个点，定义随机变量 公式 如下：对 公式 中的每个点 公式 ，令 公式 ，则 公式 的数学期望为 A. 公式 B. 公式 C. 公式 D. 公式

设整数 公式 。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 公式 次，当且仅当投中 1 次时或 公式 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 公式 ，各次投中与否相互独立。记 公式 为停止练习时该同学的投篮次数。 （1）当 公式 ， 公式 时，求 公式 的分布列； （2）设 公式 ， 公式 均为自然数。 (i) 当 公式 时，求 公式 ； (ii) 当 公式 时，证明： 公式 。