概率统计

投篮比赛分两阶段。第一阶段 $1$ 名队员投 $1$ 次，投中则另一队员投 $3$ 次，每次投中得 $5$ 分。甲乙两队，甲投中概率 $p$，乙投中概率 $q$，各次独立。

(1) $p=0.4$，$q=0.5$，甲参加第一阶段，求成绩不少于 $5$ 分的概率；

(2) $0<p<q$：(i) 为使成绩 $15$ 分概率最大由谁参加？(ii) 为使期望最大由谁参加？

在 $4\times 4$ 方格表中选 $4$ 个方格，每行每列恰选一个。数据如下：

第一行：$11,\ 21,\ 31,\ 40$

第二行：$12,\ 22,\ 33,\ 42$

第三行：$13,\ 22,\ 33,\ 43$

第四行：$15,\ 24,\ 34,\ 44$

共有____种选法，选中方格中 $4$ 个数之和的最大值是____。

甲持有数字 $1,3,5,7$，乙持有数字 $2,4,6,8$，双方各随机抽取一个数字进行比较，共进行四轮（每轮各从剩余数字中抽取），甲总得分 $\geq 2$ 的概率是____。

19. 甲乙乒乓球练习, 每球胜者得1分. 甲胜概率 $p(\frac{1}{2}<p<1)$, 乙 $q=1-p$, 各球独立. $p_k$: $k$ 球后甲比乙至少多2分概率; $q_k$: $k$ 球后乙比甲至少多2分概率.

(1) $p_3,p_4$;

(2) $(p_4-p_3)/(q_4-q_3)=4$, 求 $p$;

(3) 证 $p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$.

14. 有5个相同的球, 分别标有数字 1, 2, 3, 4, 5, 从中有放回地随机取3次, 每次取1个球。记 $X$ 为这5个球中至少被取出1次的球的个数, 则 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\underline{\qquad}$。

题目

一个智能机器人连续投篮 $n$ 次，一次只投一个篮球，每次投篮命中的概率均为 $p$，每次投篮互不影响。记至少连续 $m$ 次投进的概率为 $P(n,m)$，已知 $P(3,3)=\dfrac{1}{8}$。

（1）写出 $P(3,2)$ 和 $P(4,3)$ 的值；

（2）设 $X$ 为连续投进篮球数的最大值，求 $n=5$ 时 $X$ 的分布列和期望；

（3）求 $P(10,3)$ 的值。

21. 已知 $(i,j,k)$ 是 $1,2,3$ 的一个排列，若函数 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，对任意 $x\in I$，都有 $f_1(x)\leq f_i(x)$ 且 $f_1(x)+f_2(x)\leq f_i(x)+f_j(x)$，则称 $(i,j,k)$ 是关于 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$ 的一个 $I$ 排列，则关于 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$ 的 $I$ 排列总数记为 $n_I$。

（1）已知 $I=[3,+\infty)$，$f_1(x)=x$，$f_2(x)=0$，$f_3(x)=x^2+1

设 $U=\left\{(x_1,x_2,x_3)\big|x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\right\}$ 为空间中 $64$ 个点构成的集合，点 $P(1,1,1)$，记样本空间 $\Omega=\complement_{U}\{P\}$，从 $\Omega$ 中随机取一个点，定义随机变量 $X$ 如下：对 $\Omega$ 中的每个点 $A(x_1,x_2,x_3)$，令 $X(A)=x_1+x_2+x_3$，则 $X$ 的数学期望为

A. $-\frac{1}{21}$

B. $-\frac{1}{63}$

C. $0$

D. $\frac{1}{7}$

设整数 $N \geq 2$。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 $N$ 次，当且仅当投中 1 次时或 $N$ 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 $p\ (0 < p < 1)$，各次投中与否相互独立。记 $X$ 为停止练习时该同学的投篮次数。

（1）当 $N=4$，$p=\frac{1}{3}$ 时，求 $X$ 的分布列；

（2）设 $k$，$m$ 均为自然数。

(i) 当 $k \leq N-1$ 时，求 $P(X > k)$；

(ii) 当 $k+m \leq N-1$ 时，证明：$P(X > k+m \mid X > k) = P(X > m)$。