乒乓球概率

【答案】(1) $p_{3}=p^{3}$ ， $p_{4}=p^{3}\left(4-3p\right)$ (2) $p=\dfrac{2}{3}$ (3) 设打完 $k$ 个球，甲的得分为 $X_{k}$ ，乙的得分为 $Y_{k}$ ， $X_{k}+Y_{k}=k$ ， 所以 $p_{2m}=P(X_{2m}\ge m+1)$ ， $p_{2m+1}=P(X_{2m+1}\ge m+2)$ ， $p_{2m+2}=P(X_{2m+2}\ge m+2)$ ， $q_{2m}=P(Y_{2m}\ge m+1)$ ， $q_{2m+1}=P(Y_{2m+1}\ge m+2)$ ， $q_{2m+2}=P(Y_{2m+2}\ge m+2)$ ， 要证明 $p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$ ， 即证明① $p_{2m+1}-p_{2m}<q_{2m+1}-q_{2m}$ ，② $p_{2m+2}-p_{2m}>q_{2m+2}-q_{2m}$ ， 先证明① $p_{2m+1}-p_{2m}<q_{2m+1}-q_{2m}$ ， $p_{2m+1}-p_{2m}=P(X_{2m+1}\ge m+2)-P(X_{2m}\ge m+1)$ $=P(X_{2m}\ge m+2)+P(X_{2m}=m+1)p-P(X_{2m}\ge m+1)$ $=P(X_{2m}=m+1)p-P(X_{2m}=m+1)$ $=(p-1)C_{2m}^{m+1}p^{m+1}q^{m-1}$ ， 同理可得 $q_{2m+1}-q_{2m}=(q-1)C_{2m}^{m+1}q^{m+1}p^{m-1}$ ， 所以① $\Leftrightarrow(p-1)C_{2m}^{m+1}p^{m+1}q^{m-1}<(q-1)C_{2m}^{m+1}q^{m+1}p^{m-1}\Leftrightarrow p^{2}(p-1)<q^{2}(q-1)\Leftrightarrow-p^{2}q<-q^{2}p\Leftrightarrow-p<-q\Leftrightarrow p>q$ ，故成立； 证明② $p_{2m+2}-p_{2m}>q_{2m+2}-q_{2m}$ ： $p_{2m+2}-p_{2m}=P(X_{2m+2}\ge m+2)-P(X_{2m}\ge m+1)$ $=P(X_{2m}=m)p^{2}+P(X_{2m}=m+1)[1-(1-p)^{2}]+P(X_{2m}\ge m+2)-P(X_{2m}\ge m+1)$ $=P(X_{2m}=m)p^{2}+P(X_{2m}=m+1)[1-(1-p)^{2}]+P(X_{2m}\ge m+1)-P(X_{2m}=m+1)-P(X_{2m}\ge m+1)$ $=P(X_{2m}=m)p^{2}+P(X_{2m}=m+1)(1-q^{2})-P(X_{2m}=m+1)$ $=C_{2m}^{m}p^{m}q^{m}p^{2}-q^{2}C_{2m}^{m+1}p^{m+1}q^{m-1}$ $=C_{2m}^{m}p^{m+2}q^{m}-C_{2m}^{m+1}p^{m+1}q^{m+1}$ ， 同理可得 $q_{2m+2}-q_{2m}=C_{2m}^{m}q^{m+2}p^{m}-C_{2m}^{m+1}q^{m+1}p^{m+1}$ ， 所以② $\Leftrightarrow C_{2m}^{m}p^{m+2}q^{m}-C_{2m}^{m+1}p^{m+1}q^{m+1}>C_{2m}^{m}q^{m+2}p^{m}-C_{2m}^{m+1}q^{m+1}p^{m+1}\Leftrightarrow C_{2m}^{m}p^{m+2}q^{m}>C_{2m}^{m}q^{m+2}p^{m}\Leftrightarrow p^{2}>q^{2}\Leftrightarrow p>q$ ，故成立； 综上，不等式 $p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$ 成立. 【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解 （2） 由题意 $q_{3}=q^{3},q_{4}=q^{3}\left(4-3q\right)$ ，联立 $\dfrac{p_{4}-p_{3}}{q_{4}-q_{3}}=4$ ， $p+q=1$ 即可求解 （3） 首先 $p_{2m}-p_{2m+1}=C_{2m}^{m-1}p^{m+1}q^{m}$ ， $p_{2m+2}-p_{2m+1}=C_{2m+1}^{m}p^{m+2}q^{m}$ ，同理有 $q_{2m}-q_{2m+1}=C_{2m}^{m-1}q^{m+1}p^{m}$ ， $q_{2m+2}-q_{2m+1}=C_{2m+1}^{m}q^{m+2}p^{m}$ ，作差有 $p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}$ ，另一方面 $p_{2m+2}-p_{2m}=\dfrac{\left(2m+1\right)!}{m!\left(m+1\right)!}p^{m}q^{m}⋅p\left(p-\dfrac{m}{2m+1}\right)$ ，且同理有 $q_{2m+2}-q_{2m}=\dfrac{\left(2m+1\right)!}{m!\left(m+1\right)!}p^{m}q^{m}⋅q\left(q-\dfrac{m}{2m+1}\right)$ ，作差能得到 $p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$ ，由此即可得证. 【详解】（1） $p_{3}$ 为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为 $p_{3}=C_{3}^{3}\left(1-p\right)^{0}p^{3}=p^{3}$ ， $p_{4}$ 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为 $p_{4}=C_{4}^{3}\left(1-p\right)^{1}p^{3}+C_{4}^{4}\left(1-p\right)^{0}p^{4}=4p^{3}\left(1-p\right)+p^{4}=p^{3}\left(4-3p\right)$ （2） 由（1）得 $p_{3}=p^{3}$ ， $p_{4}=p^{3}\left(4-3p\right)$ ，同理 $q_{3}=q^{3},q_{4}=q^{3}\left(4-3q\right)$ ， 若 $\dfrac{p_{4}-p_{3}}{q_{4}-q_{3}}=4$ ， $p+q=1$ ， 则 $\dfrac{p_{4}-p_{3}}{q_{4}-q_{3}}=\dfrac{p^{3}\left(4-3p\right)-p^{3}}{q^{3}\left(4-3q\right)-q^{3}}=\dfrac{3p^{3}\left(1-p\right)}{3q^{3}\left(1-q\right)}=\dfrac{p^{3}q}{q^{3}p}=\left(\dfrac{p}{q}\right)^{2}=4$ ， 由于 $0<p,q<1$ ，所以 $p=2q=2\left(1-p\right)>0$ ，解得 $p=\dfrac{2}{3}$ （3） 略