抽卡比赛概率

甲持有 $\{1,3,5,7\}$，乙持有 $\{2,4,6,8\}$，各随机抽一个比较，共四轮（不放回）。甲得分 $\geq 2$ 的概率。

每轮甲的数字 $a$ 与乙的数字 $b$ 比较，$a>b$ 则甲得 $1$ 分。

甲的数字均为奇数 $\{1,3,5,7\}$，乙均为偶数 $\{2,4,6,8\}$。$a>b$ 当且仅当奇数 $>$ 偶数。

总配对数 $4!=24$（甲的排列固定为某个顺序，乙的排列有 $4!$ 种；或等价地考虑所有匹配方案）。

用对称性：$a>b$ 和 $a<b$ 的概率对称。但 $a\neq b$（奇偶不同），没有平局。

甲得 $k$ 分的分布：每个匹配等概率，$k$ 从 $0$ 到 $4$。

计算甲得 $0$ 分（全败）：甲每个数都小于乙的数。甲的排列 $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ 对乙排列 $(b_1,b_2,b_3,b_4)$，需 $a_i<b_i$ 对所有 $i$。

这等价于：在 $\{1,\dots,8\}$ 中，$\{1,3,5,7\}$ 和 $\{2,4,6,8\}$ 的匹配中，每个奇数 $<$ 对应偶数。

利用排列的逆序数分析。设甲固定为 $(1,3,5,7)$，乙排列 $(b_1,b_2,b_3,b_4)$。$k=$ 甲赢的轮数 $=$ 满足 $a_i>b_i$ 的 $i$ 的个数。

枚举乙的 $24$ 种排列：

$P(k=0)$：$1<b_1, 3<b_2, 5<b_3, 7<b_4$。需 $b_1\in\{2\}, b_2\in\{4\}, b_3\in\{6\}, b_4\in\{8\}$。唯一排列 $(2,4,6,8)$。$1$ 种。

$P(k=4)$：$1>b_1, 3>b_2, 5>b_3, 7>b_4$。需 $b_1<1$（不可能，$b_i\in\{2,4,6,8\}$）。$0$ 种。

$P(k=3)$：恰 $3$ 个 $a_i>b_i$。逐一分析：$a_i>b_i$ 需 $a_i\geq b_i+1$。

$1>b_i$：不可能（$b_i\geq 2$）。故 $a_1=1$ 总是输，$k\leq 3$。

$k=3$：$a_2,a_3,a_4$ 都赢。$3>b_2$：$b_2\in\{2\}$。$5>b_3$：$b_3\in\{2,4\}$。$7>b_4$：$b_4\in\{2,4,6\}$。$b_1$ 为剩余。

$b_2=2$，$b_3\in\{4\}$（因 $b_2=2$ 已用），$b_4\in\{6\}$（因 $2,4$ 已用），$b_1=8$。

排列 $(8,2,4,6)$：$1<8, 3>2, 5>4, 7>6$。$k=3$。$\checkmark$ $1$ 种。

$k=1$：对称性，$P(k=1)=P(k=3)$？由对称 $P(k)=P(4-k)$（交换甲乙），$P(k=1)=P(k=3)=1$。

但 $k=0$ 对应 $k=4=0$，$P(k=0)=1$，$P(k=4)=0$。不对称因甲的数整体偏小。

$P(k=0)=1$，$P(k=3)=1$，$P(k=1)=?$

$P(k=2)=24-1-1-P(k=1)=22-P(k=1)$。

直接算 $P(k=1)$：恰一个 $a_i>b_i$。$a_1=1$ 不可能赢，故赢的是 $a_2,a_3,a_4$ 中恰一个。

$a_2=3$ 赢，其余输：$3>b_2$，$b_2\in\{2\}$。$5<b_3$：$b_3\in\{6,8\}$。$7<b_4$：$b_4\in\{8\}$（若 $b_3=6$）或不可能（$b_4\in\{6\}$ 但 $b_3=8>7$... $7<8$ 输，$b_4\in\{6\}$：$7>6$ 赢，不满足）。

$b_2=2, b_3=6, b_4=8, b_1=4$：$(4,2,6,8)$：$1<4, 3>2, 5<6, 7<8$。$k=1$。$\checkmark$

$b_2=2, b_3=8, b_4=6, b_1=4$：$(4,2,8,6)$：$1<4, 3>2, 5<8, 7>6$。$k=2$。不是 $k=1$。

$a_3=5$ 赢，其余输：$5>b_3$，$b_3\in\{2,4\}$。$3<b_2$：$b_2\in\{4,6,8\}$。$7<b_4$：$b_4\in\{8\}$。

$b_3=2, b_4=8$：$b_1,b_2\in\{4,6\}$。$3<b_2$：$b_2\in\{4,6\}$。$1<b_1$：恒成立。

$(b_1,b_2,b_3,b_4)=(4,6,2,8)$：$1<4, 3<6, 5>2, 7<8$。$k=1$。$\checkmark$ $(6,4,2,8)$：$1<6, 3<4, 5>2, 7<8$。$k=1$。$\checkmark$

$b_3=4, b_4=8$：$b_1,b_2\in\{2,6\}$。$3<b_2$：$b_2=6, b_1=2$。 $(2,6,4,8)$：$1<2, 3<6, 5>4, 7<8$。$k=1$。$\checkmark$

$a_4=7$ 赢，其余输：$7>b_4$，$b_4\in\{2,4,6\}$。$5<b_3$：$b_3\in\{6,8\}$。$3<b_2$：$b_2\in\{4,6,8\}$。

$b_4=2, b_3=6, b_2=4, b_1=8$：$(8,4,6,2)$：$1<8, 3<4, 5<6, 7>2$。$k=1$。$\checkmark$ $b_4=2, b_3=6, b_2=8, b_1=4$：$(4,8,6,2)$：$1<4, 3<8, 5<6, 7>2$。$k=1$。$\checkmark$ $b_4=2, b_3=8, b_2=4, b_1=6$：$(6,4,8,2)$：$1<6, 3<4, 5<8, 7>2$。$k=1$。$\checkmark$ $b_4=2, b_3=8, b_2=6, b_1=4$：$(4,6,8,2)$：$1<4, 3<6, 5<8, 7>2$。$k=1$。$\checkmark$ $b_4=4, b_3=6, b_2=8, b_1=2$：$(2,8,6,4)$：$1<2, 3<8, 5<6, 7>4$。$k=1$。$\checkmark$ $b_4=4, b_3=8, b_2=6, b_1=2$：$(2,6,8,4)$：$1<2, 3<6, 5<8, 7>4$。$k=1$。$\checkmark$ $b_4=6, b_3=8, b_2=4, b_1=2$：$(2,4,8,6)$：$1<2, 3<4, 5<8, 7>6$。$k=1$。$\checkmark$

$P(k=1)=1+3+8=12$？重新计数：$a_2$ 赢：$1$ 种。$a_3$ 赢：$3$ 种。$a_4$ 赢：$7$ 种。但有些排列被重复计数（一个排列可能多赢）。需更系统化。

总排列 $24$ 种，$P(k=0)=1$，$P(k=3)=1$。$P(k=1)+P(k=2)=22$。

利用对称性精确计算：考虑置换 $\sigma$（乙的排列），$k(\sigma)=|\{i: a_i > b_{\sigma(i)}\}|$。

$E[k]=\sum_i P(a_i>b_{\sigma(i)})=4\cdot P(a_1>b_{\sigma(1)})$。$P(1>b)=0$（$b\in\{2,4,6,8\}$）。$E[k]=P(3>2)+P(5>2,4)+P(7>2,4,6)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}$。

$E[k]=0+1+2+3=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$。

$P(k\geq 2)=1-P(k=0)-P(k=1)=1-\dfrac{1}{24}-\dfrac{P(k=1)}{24}$。

由 $E[k]=\dfrac{3}{2}$：$0\cdot P(0)+1\cdot P(1)+2\cdot P(2)+3\cdot P(3)=\dfrac{3}{2}$。$P(0)=\dfrac{1}{24}$，$P(3)=\dfrac{1}{24}$。$P(1)+2P(2)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{24}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{11}{8}$。$P(1)+P(2)=\dfrac{22}{24}=\dfrac{11}{12}$。$P(2)=\dfrac{11}{8}-\dfrac{11}{12}=\dfrac{33-22}{24}=\dfrac{11}{24}$... $P(1)=\dfrac{11}{12}-\dfrac{11}{24}=\dfrac{11}{24}$。

$P(k\geq 2)=P(2)+P(3)=\dfrac{11}{24}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}$。

答案

甲总得分 $\geq 2$ 的概率为 $\dfrac{1}{2}$。